Урок 16. Благоприятствующие элементарные события. Вероятности событий.

Благоприятствующие элементарные события.

Вероятности событий

Главное правило классической вероятности

Вероятность события A в опытах с равновозможными исходами:

,

где:

• n — общее число элементарных исходов,
• m — число исходов, благоприятствующих событию A.

Важно: сначала чётко определить, что считается элементарным исходом, и убедиться, что все они действительно равновозможны.

Как удобно считать исходы:

перебор с помощью таблиц

Когда исходов не очень много (например, два кубика или две монеты), удобно выписать их в таблицу. Это помогает не пропустить и не посчитать дважды.

Пример: два игральных кубика

Элементарный исход — пара чисел ( i , j ), где i — результат первого кубика, j — второго.

Всего таких пар: 6×6=36.

Построим таблицу (не всю, а идею):

1-й кубик

1

2-й кубик

1

2

2

(1,1)

(1,2)

(2,1)

3

…

(2,2)

(1,3)

4

…

6

…

(1,4)

5

(6,1)

…

…

(1,5)

6

…

…

…

(1,6)

…

…

…

…

…

…

…

(6,6)

Теперь легко найти, сколько исходов дают нужную сумму. Например, сумма равна 7:

(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — всего 6 исходов.

Значит, вероятность, что сумма очков на двух кубиках равна 7:

Почему это полезно: таблица не даёт «потерять» симметричные пары вроде (2,5) и (5,2).

Примеры по разным типам опыта. Монеты

Бросают две симметричные монеты. Элементарные исходы: ОО, ОР, РО, РР (всего 4, все равновозможны).

Событие «хотя бы один орёл»: благоприятны ОО, ОР, РО — то есть 3 исхода.

Типичная ошибка: считать, что исходов три (два орла, две решки, по одному орлу и решке) и вероятность «по одному» равна .

Но эти три группы не равновозможны: «по одному» встречается в двух из четырёх исходов.

Карты

Из колоды в 36 карт (от шестёрок до тузов) наугад достают одну карту.

Событие А «выпал туз»: в колоде 4 дамы.

Событие В «карта — трефовый туз»: только 1 такая карта.

Шары в урне

В урне 3 белых и 2 чёрных шара, все одинаковые на ощупь. Наугад вынимают один шар.

Событие А «извлечен белый шар»:

m=3, n=5.

Если вынимают два шара без возвращения , элементарный исход — это пара шаров. Тут уже исходы не «цвета», а конкретные пары. Проще перебирать все пары.

Связь между числом благоприятствующих исходов и вероятностью

Чем больше m (при том же n), тем выше вероятность.

Если m=n, то событие достоверное:

Если m=0, то событие невозможное:

Иногда удобно считать противоположное событие :

Например, А «хотя бы одна решка» при двух бросках: проще посчитать «ни одной решки» (то есть два орла) — это 1 исход из 4. Тогда

Задачи для закрепления (с решениями). Задача 1. Кубики: сумма больше 9

Бросают два кубика. Какова вероятность, что сумма очков больше 9?

Решение: Введем событие А «сумма очков на верхних гранях кубиков больше 9»

Всего исходов: n=36. Благоприятные исходы: сумма 10, 11, 12.

• Сумма 10: (4,6), (5,5), (6,4) — 3 исхода
• Сумма 11: (5,6), (6,5) — 2 исхода
• Сумма 12: (6,6) — 1 исход

Итого m=3+2+1=6.

Задача 2. Монеты: ровно один орёл

Бросают три монеты. Какова вероятность, что выпал ровно один орёл?

Решение:

Введем событие А «при подбрасывании трех монет выпал ровно один орёл»

Исходы — тройки из О и Р. Всего 2 3 =8:

Ω={ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР}

Исходы, в которых ровно один орёл: ОРР, РОР, РРО — 3 исхода.

Задача 3. Карты: не туз

Из колоды 36 карт достают одну. Какова вероятность, что эта карта не туз ?

Решение:

Введем событие А «извлеченная карта не туз»

Тузов в колоде 4. Значит, «не туз» — это 36−4=32 исхода.

Или через противоположное событие: «извлеченная карта туз».

Тузов 4 из 36.

Задача 4. Шары: выбор из урны

В урне 5 красных и 3 синих шара.

Наугад извлекают один шар.

Какова вероятность, что он красный?

Решение:

n=8, m=5.

Типичные ошибки и как их избегать. Мини-тренинг

Ошибка

Как делать правильно

Считают «типы исходов» вместо самих исходов (например, «два орла, две решки, по одному орлу и решке»)

Перечисляй элементарные исходы явно: для монет — ОО, ОР, РО, РР; для кубиков — пары (i,j)

Путают «число благоприятных» и «число остальных»

Помни: n — это все возможные исходы, а не только «неудачные»

Не учитывают порядок, когда он важен

Для кубиков (2,5) и (5,2) — разные исходы. Для шаров без возвращения порядок может не учитываться, но тогда и считать нужно комбинаторно

Применяют классическую формулу, когда исходы не равновозможны

Сначала проверь: действительно ли у каждого исхода одинаковый шанс?

Мини-тренинг: попробуй сам

• Бросают два кубика. Найди вероятность, что сумма равна 8. Подсказка: выпиши все пары, дающие 8, и посчитай их количество.
• Бросают три монеты. Найди вероятность, что выпадет хотя бы один орёл. Подсказка: проще через противоположное событие («все решки»).
• В колоде 36 карт. Найди вероятность, что вынутая карта — король или дама. Подсказка: королей 4, дам 4; события «король» и «дама» не пересекаются.
• В урне 4 белых, 3 красных, 3 чёрных шара. Вынимают один. Найди вероятность, что шар белый или красный. Подсказка: объединяем благоприятные исходы.

Шпаргалка для решения задач

• Определи, что является элементарным исходом (пара, тройка, отдельный объект).
• Посчитай общее число исходов n.
• Выпиши или посчитай число благоприятствующих исходов m.
• Проверь, равновозможны ли все исходы.
• Вычисли

• При необходимости используй формулу с вероятностью противоположного события

Вопросы для рефлексии:

• В задаче сказано: «В коробке 4 красных и 6 синих карандашей. Наугад берут один. Какова вероятность, что он красный?»

Ученик записал: P(A)=4/6​. Найди ошибку, объясни, что именно он перепутал, и запиши верное решение. Как ты бы подсказал ему не делать такую ошибку в будущем?

• Придумай ситуацию, где нельзя пользоваться формулой P=m/n​, потому что исходы не равновозможны. Объясни, почему в твоём примере делить «подходящие на все» будет неправильно. Что можно было бы изменить в условиях, чтобы классическая вероятность снова стала применима?