Урок 15. Благоприятствующие элементарные события. Вероятности событий

Благоприятствующие элементарные события. Вероятности событий

Что такое благоприятствующее элементарное событие

Представь, что ты бросаешь игральный кубик. Возможные результаты (элементарные события) — это: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Каждый из них — один отдельный исход, который нельзя разбить на части.

Теперь придумаем событие, например: «выпало чётное число» . Назовём это событие A.

Какие исходы приведут к тому, что событие A случится? Те, где выпадет 2, 4 или 6.

Вот эти исходы — 2, 4, 6 — и называются благоприятствующими для события A. Они «помогают» событию произойти.

То есть: Благоприятствующее элементарное событие — это такой исход, при котором интересующее нас событие точно наступает.

Пример 1. Игральный кубик

Условие. Бросают один игральный кубик. Найди все элементарные исходы, благоприятствующие событию А=«выпало число, кратное 3». Сколько их?

Решение.

• Пространство элементарных исходов: Ω={1,2,3,4,5,6}. Всего исходов n=6.
• Событие: «число кратно 3». Какие числа из {1,2,3,4,5,6} делятся на 3 без остатка? Это 3 и 6.
• Благоприятствующие исходы: {3,6}. Их количество m=2.
• Вероятность события А=m/n=2/6=1/3

Задача 2 (две монеты)

Условие. Подбрасывают две одинаковые монеты. Перечисли все элементарные исходы. Найди среди них те, которые благоприятствуют событию A=«орёл выпал ровно один раз». Сколько таких исходов?

Решение.

• Пространство элементарных исходов: Ω={ОО, ОР, РО, РР} . Всего исходов n =4.
• Событие: А=«орёл выпал ровно один раз».

Посмотрим на каждый исход:

Исходы, благоприятствующие событию A={ОР, РО}, m=2.

Задача 3 (колода карт)

Условие. Из колоды в 36 карт наугад вытягивают одну карту. Найди количество благоприятствующих исходов для события «вытянута карта червовой масти».

Решение.

• Пространство элементарных исходов — все 36 карт. Всего исходов n=36.
• В колоде по 9 карт каждой масти. Червовых — 9 штук.
• Благоприятствующие исходы — это все 9 червовых карт. Их количество m=9.

Как считать вероятность события

Есть простая идея: вероятность события — это сумма вероятностей всех тех элементарных исходов, которые ему благоприятствуют.

Формула выглядит так:

P(A)=∑P(ωi), где ωi∈A

На словах это значит: «чтобы найти вероятность события A, сложи вероятности всех исходов ωi, которые входят в A».

Если все исходы равновозможны

Когда все исходы одинаково вероятны (как у честного кубика или монетки), работает ещё более простая формула:

где m - число благоприятствующих исходов, n - общее число всех исходов.

Пример. Бросаем кубик.

Событие A: «выпало чётное число».

• Благоприятствующие исходы: 2, 4, 6 → m= 3.
• Всего исходов: n= 6.
• Значит,

Достоверное и невозможное событие

• Достоверное событие — то, которое обязательно произойдёт. Все исходы опыта являются благоприятствующими (m=n).

Его вероятность. Например, событие А «выпадет число от 1 до 6» при броске обычного кубика — это точно случится. P=1.

• Невозможное событие — то, которое точно не произойдёт . Ни один исход опыта не является благоприятствующим (m=0).

Его вероятность . Например , событие В «выпадет 7» на обычном кубике. P(А)=0.

Пример с разными вероятностями исходов

Иногда исходы имеют разные шансы.

Например, есть мешочек с 4 шариками, из них 1 красный, 2 синих и 1 зеленый.

Из мешочка достают два шара. Сколько элементарных исходов у этого опыта? Сколько элементарных исходов благоприятствуют событию А=«достанут шары разного цвета», B=«достанут шары одного цвета»

Ω={КС 1 , КС 2 , ЗС 1 , ЗС 2 , С 1 К, С 1 З, С 2 К, С 2 З, С 1 С 2 , С 2 С 1 } n=10

A={КС 1 , КС 2 , ЗС 1 , ЗС 2 , С 1 К, С 1 З, С 2 К, С 2 З 1 } m 1 =8;

B={С 1 С 2 , С 2 С 1 }, m 2 =2,

P(A)=0,8; P(B)=0,2.

Разбор типовых задач.

Задача 1 (равновозможные исходы)

В коробке 5 конфет: 3 шоколадные и 2 желейные. Наугад берут одну конфету. Какова вероятность, что она шоколадная?

Решение:

• Общее число исходов: n=5 (каждая конфета — отдельный исход).
• Благоприятствующих исходов (шоколадные): m=3.
• А: «вытащили шоколадную конфету»

Задача 2: Достоверное и невозможное события

Бросаем два кубика. Рассмотрим события:

• C: «сумма очков больше 1».
• D: «сумма очков равна 13».

Решение:

• Минимальная сумма при двух кубиках — 2, максимальная — 12. Значит, сумма всегда будет больше 1.
• Событие C — достоверное: P(C)=1.
• Событие D - невозможное.
• Сумма 13 невозможна: P(D)=0.

Задача 3 (сумма вероятностей)

У нас есть опыт: выбираем случайную букву из слова «МАТЕМАТИКА». Все буквы равновозможны.

Событие А: «выбрали гласную букву».

Буквы в слове: М, А, Т, Е, М, А, Т, И, К, А → всего 10 букв . Гласные: А, Е, А, И, А → это 5 букв (но важно считать не уникальные буквы, а позиции: каждая буква — свой исход) .

Благоприятствующих исходов: 5 (m=5). Всего исходов: 10 (n=10).

Важная идея: почему складываем вероятности

Если исходы не могут случиться одновременно (а элементарные исходы как раз такие: при одном броске кубика не может быть сразу и 3, и 5), то вероятность «случится один из них» — это просто сумма их вероятностей.

Поэтому формула P(A)=∑P(ωi) — это как сказать: «событие A произойдёт, если случится хотя бы один из этих исходов, а они не пересекаются, поэтому можно просто сложить их шансы».

Частые ошибки, которых стоит избегать

• Считать уникальные значения вместо исходов. В слове «МАТЕМАТИКА» буква «А» встречается трижды, и каждая позиция — это отдельный исход. Не объединяй их в одну «букву А».
• Забывать, что вероятности всех элементарных исходов в сумме должны давать 1. Если получилось больше или меньше — где‑то ошибка.
• Путать «количество благоприятных исходов» с «вероятностью». Это не одно и то же: сначала считаем количество, потом делим на общее число (если исходы равновозможны).

Аналогия, чтобы лучше запомнить

Представь лотерею: в ящике 100 билетов, 10 из них выигрышные. Ты вытянул один билет. Вероятность того, что вытянутый билет - выигрышный

• Каждый билет — элементарное событие.
• Выигрышные билеты — это благоприятствующие исходы для события А:«выиграл».
• Вероятность выиграть: Р(А)=10/100=0,1.

Вопросы для рефлексии:

• «В одной задаче ученик посчитал вероятность так: „Есть 3 выигрышных билета и 7 обычных, значит, вероятность выиграть — 3/7“. Найди ошибку, объясни, почему это неправильно, и запиши верное решение. В чём здесь подвох с „общим числом исходов“?»
• «Придумай ситуацию, где формула классической вероятности P(A)=m/n вообще не подходит (то есть исходы не равновозможны). Объясни, почему в твоём примере нельзя просто поделить „подходящие“ на „все“, и что могло бы сделать выбор действительно случайным».