Дерево случайного опыта

Конспект урока по теории вероятностей и статистике

Класс – 9

Тема: "Дерево случайного опыта"

Цели урока:

Образовательные: Научиться представлять многопериодные случайные эксперименты с помощью деревьев и вычислять вероятности событий.

Воспитательные: побудить интерес к изучению теории вероятностей, формирование творческого воображения и умения решать нестандартные задачи.

Развивающие: развитие логического и алгоритмического мышления школьников, приемов умственной деятельности, формирование и развитие функционального мышления учащихся, развитие  познавательных  потребностей учащихся.

Планируемые результаты:

Предметные: Сформировать умение строить деревья вероятностей для экспериментов с последовательными исходами. Научить вычислять вероятности событий по ветвям дерева.

Метапредметные: применять полученные знания; выполнять учебные задания в соответствии с целью; соотносить приобретенные знания с реальной жизнью; выполнять учебное действие в соответствии с планом; формулировать высказывание, мнение; умение обосновывать, отстаивать свое мнение; согласовывать позиции с партнером и находить общее решение;

Личностные: формирование ответственного отношения к учению на основе мотивации к обучению и познанию; формирование осознанного, уважительного и доброжелательного отношения к другому человеку, его мнению; формирование коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками и взрослыми в процессе учебной деятельности.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование: учебник, презентация https://multiurok.ru/files/predstavlenie-sluchainogo-eksperimenta-v-vide-de-1.html ,  мультимедийный комплекс.

Ход урока

Организационный этап

Актуализация опорных знаний (в форме беседы с классом)

1. Какие события называются зависимыми?

2. Приведите пример зависимых событий!

3. Какие события называются независимыми?

4. Приведите пример независимых событий!

5. Как найти вероятность объединения двух несовместных событий?

Р(A U B) = Р(А) + Р(В)

1. Как найти вероятность объединения двух несовместных и независимых событий?

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Мотивация учебной деятельности.

Слово учителя: Представьте, что вы попали в вашу любимую игру-симулятор выживания. У вас пустой инвентарь, и перед вами — огромное дерево. Что делать?

Срубить его и получить ресурсы? Залезть наверх и разведать местность? Или вдруг оно волшебное и даст бонус?

Каждый вариант — это новый путь развития событий. И как в игре, от одного действия зависят все последующие.

В математике есть похожий инструмент — дерево вероятностей. Оно показывает, какие события могут произойти, если мы делаем определённый выбор, и с какой вероятностью.

Зачем это нужно?

Чтобы понять шансы выпадения редкого предмета в игре.

Чтобы оценить, какова вероятность, что пойдёт дождь, когда вы забыли зонт.

Чтобы рассчитать, насколько реально сдать тест, если учил только половину билетов.

Сегодня мы научимся строить свои деревья вероятностей и посмотрим, как они помогают «прокачивать» не только виртуального персонажа, но и умение принимать решения в реальной жизни.

Целеполагание: ученики с помощью учителя подводятся к формулированию образовательной цели урока.

Изучение нового материала.

Если в задаче описывается последовательность случайных опытов, и следующий опыт зависит от исхода предыдущего, для разделения возможных сценариев развития событий часто используют схему "дерево вероятностей".

При построении дерева случайного опыта нужно следить, чтобы сумма вероятностей около всех ребер, выходящих из одной вершины, была равна единице.

Найти вероятность элементарного события можно с помощью правила умножения вероятностей: нужно найти произведение условных вероятностей вдоль соответствующей цепи. Р(ОР) = Р(SОР) = Р(SО) ^.Р(ОР) = 1/2 ^. 1/2 =1/4

Дерево — это график, где:

Корень (начало) = старт эксперимента.

Ветви = возможные исходы на каждом шаге.

Листья = конечные результаты.

Алгоритм построения (разбираем на примере 2 монет):

1-й шаг: Рисуем ветви для 1-й монеты:

2-й шаг: Из каждой ветви рисуем исходы 2-й монеты:

3. Конечные исходы: ОО, ОР, РО, РР.

Как считать вероятности?

Правило: Вероятность пути = произведение вероятностей вдоль ветвей.

Пример: P(О, затем Р) = 0.5 × 0.5 = 0.25.

Разбор сложного случая (зависимые события):

Задача: В корзине 4 яблока (3 зелёных, 1 красное). Вынимаем 2 яблока без возвращения. Построим дерево:

- 1-й выбор: P(зелёное) = 3/4, P(красное) = 1/4.

- 2-й выбор:

- Если первое зелёное: осталось 2 зелёных, 1 красное → P(зел.) = 2/3, P(красн.) = 1/3.

- Если первое красное: все 3 зелёных → P(зел.) = 1.

Первичное закрепление:

Задача (решается фронтально). Трое друзей – Вася, Петя и Слава купили торт и решили его съесть. Они разделили торт на три равные части. Внезапно появился четвертый друг Коля, и друзья решили отрезать ему по кусочку от своей доли. Вася отрезал третью часть от своего куска, Петя – четвертую часть, а Слава – половину. Какую часть всего торта получил Коля.

Решение. Построим дерево случайного опыта.

Полученная Колей часть торта равна сумме частей, которая была получена по каждой ветке дерева.

Часть, полученная от Васи, является произведением по его ветке: 1/3 ^. 1/3 = 1/9. Аналогично, от Пети было получено 1/3 ^. 1/4 = 1/12, и от Славы 1/3 ^. 1/2 = 1/6. Всего Коля получил 1/9 + 1/12 +1/6 = 13/36 частей торта.

Диагностическая работа:

Самостоятельное решение предложенных задач.

1. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, а вторая – 70%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. (Решение:

1. Работа с учебником – стр. 42, задача 116.

После решения сравниваются ход решения и результаты, при необходимости проводится коррекция знаний.

Домашнее задание:

По учебнику § 56 – поработать, выучить формулы и определения; решить задачу 112, 114 стр. 42.

Подведение итогов: Дерево вероятностей — ваш компас в мире случайностей! Оно превращает сложные задачи в наглядные схемы. Помните: каждая ветвь — это шаг, а путь к успеху — это умножение шансов!  

Рефлексия:

Какие цели ставили себе на уроке? Достигли ли этих целей? Какие новые знания обрели? Что на уроке понравилось? Что хотелось бы изменить?