Урок "Платоновы тела"

Урок геометрии

Цели:

1. познакомить обучающихся с новым типом выпуклых многогранников – правильными многогранниками;
2. показать влияние правильных многогранников на возникновение философских теорий и фантастических гипотез;
3. показать связь геометрии и природы.

Прогнозируемый результат:

1. знать определение правильных выпуклых многогранников;
2. уметь доказать, что существует всего пять видов таких тел;
3. уметь охарактеризовать каждый вид правильных многогранников;
4. знать теорему Эйлера (без доказательства);
5. уметь решать задачи на нахождение элементов правильных многогранников.

План урока

1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.
3. Введение нового понятия, изучение правильных выпуклых многогранников.
4. Правильные многогранники в философской картине мира Платона (сообщение обучающегося).
5. Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли (сообщение обучающегося).
6. Формула Эйлера (исследовательская работа класса).
7. Правильные многогранники на картинах великих художников.
8. Правильные многогранники в природе (сообщение обучающегося).
9. Решение задач.
10. Подведение итогов урока.
11. Домашнее задание.

Оборудование:

1. чертежные инструменты;
2. модели многогранников;
3. иллюстрации к сообщениям обучающихся: модель солнечной системы И.Кеплера; икосаэдро-додекаэдровая структура земли; правильные многогранники в природе.

Ход урока

Учитель: На данный момент вы уже имеете представление о таких многогранниках, как призма и пирамида. На сегодняшнем уроке у вас есть возможность значительно расширить свои знания: вы узнаете о так называемых правильных выпуклых многогранниках. С некоторыми понятиями вы уже знакомы – это многогранники и выпуклые многогранники. Вспомним их.

- Дайте определение многогранника.

- Какой многогранник называется выпуклым?

Нами уже использовались словосочетания «правильные призмы» и «правильные пирамиды». Оказывается, новая комбинация знакомых понятий образует совершенно новое с геометрической точки зрения понятие. Какие же выпуклые многогранники будем называть правильными? Послушайте внимательно определение: «Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер».

Может показаться, что вторая часть определения является лишней и достаточно сказать, что выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон. Достаточно ли этого на самом деле?

Посмотрите на многогранник. (Демонстрируется модель многогранника, который получается из двух правильных тетраэдров, приклеенных друг к другу одной гранью.) Оставляет ли он впечатление правильного многогранника? (Нет!) Посмотрим на его грани – правильные треугольники. Посчитаем число ребер, сходящихся в каждой вершине. В некоторых вершинах сходятся три ребра, в некоторых – четыре. Вторая часть определения правильного выпуклого многогранника не выполняется, и рассматриваемый многогранник действительно не является правильным. Таким образом, когда будете давать определение, помните о важности обеих его частей.

Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырехугольники (квадраты) и правильные пятиугольники.

Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники при n>6 или n=6.

В самом деле, угол правильного n-угольника при n>6 или n=6 не меньше 120°(объясните почему). С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при n>6или n=6, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше, чем 120°∙3-360°. Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360°.

По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, четырех или пяти равносторонних треугольников, либо квадратов, либо трех правильных пятиугольников. Других возможностей нет. В соответствии с этим получаем следующие правильные многогранники.

(слайды 2-7)

Вам необходимо запомнить названия этих многогранников, уметь охарактеризовать каждый из них и доказывать, что других видов правильных многогранников, кроме перечисленных пяти, нет.

Обращаю ваше внимание на слова Л. Кэрролла, которые являются эпиграфом сегодняшнего урока: «Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».

О том, как использовали правильные многогранники в своих научных фантазиях ученые, нам расскажут (называются Ф.И. обучающихся, выходящих с сообщениями).

(слайды 8-9)

Учитель: Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны.

(слайды 10-11)

Учитель: А сейчас от научных гипотез перейдем к научным фактам.

Исследовательская работа

«Формула Эйлера»

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько ребер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов Платоновых тел и занесем результаты в таблицу №1.

(слайд 12)

В процессе анализа таблицы №1 возникает вопрос: «Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Например, в столбце «грани», казалось бы, просматривается закономерность (4+2=6, 6+2=8), но затем намеченная закономерность нарушается (8+2≠12, 12+2≠20). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания.

Число вершин то возрастает (от4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12). В столбце «ребра» закономерности тоже не видно.

Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г+В). Составим новую таблицу своих подсчетов (см. табл. №2).

(слайд 13)

Вот теперь видна закономерность.

(слайд 14)

Итак, мы «открыли» формулу, которая была подмечена Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

Запомните эту формулу, она пригодится для решения задач.

Учеными достаточно хорошо изучены правильные выпуклые многогранники, доказано, что существует всего пять видов таких многогранников, но сам ли человек их придумал. Скорее всего – нет, он «подсмотрел» их у природы. Послушаем сообщение « Правильные многогранники и природа».

(слайды 15-16)

Учитель: Итак, благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

Тем не менее, снова возвращаемся к вычислениям.

Решим несколько задач.

(слайд 17)

Задача № 80 (учебник).

Подведем итоги урока.

- С какими новыми геометрическими телами сегодня познакомились?

- Почему Л. Кэрролл так высоко оценил значение этих многогранников?

Домашнее задание:

§ 5, п.51, № 79, 85.

Литература

1. Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений/А.В.Погорелов - 9-е издание – М.: Просвещение, 2009.
2. Гросман С., Тернер Дж. Математика для биологов. – М., 1983.
3. Кованцов Н.И. Математика и романтика. – Киев, 1976.
4. Смирнова И.М. В мире многогранников. – М., 1990.
5. Шафрановский И.И. Симметрия в природе. – Л.,1988.