Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского — один из известнейших фракталов, его построение — одна из первых лабораторных работ на рекурсию по соответствующим дисциплинам во многих ВУЗах. Выглядит фрактал

следующим образом:

Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора предложенный польским математиком Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.

Построение

Берётся сплошной равносторонний треугольник, на первом шаге из центра удаляется внутренность срединного треугольника. На втором шаге удаляется три срединных треугольника из трёх оставшихся треугольников и т. д. После бесконечного повторения этой процедуры, от сплошного треугольника остаётся подмножество — треугольник Серпинского.

Построение треугольника Серпинского

Треугольник Серпинского можно также получить по следующему алгоритму:

1. Взять три точки на плоскости, и нарисовать треугольник.

2. Случайно выбрать любую точку внутри треугольника, и продвинуться на половину расстояния от этой точки к любой из трёх вершин треугольника.

3. Отметить текущую позицию.

4. Повторить с шага 2.

Свойства

• Треугольник Серпинского замкнут.

• Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.

• имеет промежуточную (т.е. не целую) Хаусдорфову размерность. В частности,

  • имеет нулевую меру Лебега.

• Треугольник Серпинского получается из Треугольника Паскаля рассмотрением чётных чисел как точек, принадлежащих треугольнику Серпинского и нечётных - как не принадлежащих.