Задание 19-вариант 254 А.Ларин

19.  Конечная  последовательность    состоит из не обязательно различных натуральных чисел, причем  при   всех  натуральных     выполнено равенство

А) Приведите пример такой последовательности при  n  5 , в которой     3

Б) Может ли в такой последовательности оказаться так, что  ?

В)  При  каком  наибольшем   n такая  последовательность  может  состоять  только  из  n чисел, не превосходящих 50? 

Решение:

А) Перепишем равенство в виде: .

Пусть

Тогда:

Положив: , получим последовательность: 5; 3; 2; 2; 3

Ответ : Да, например: {5; 3; 2; 2; 3}

Б) Нет.

Допусти, это не так, тогда :

Или , что невозможно, т.к. может принимать только целые значения. Противоречие.

в) Ответ: 20, например: {50; 41; 33; 26; 20; 15; 11; 8; 6; 5; 5; 6; 8; 11; 15; 20; 26; 33; 41; 50}

Оценим очевидно, что

Пусть тогда , поскольку минимальное значение , оно будет достигаться при тогда, когда значит и p=0.

Это значение а будет равно: =

=

Учитывая, что и , имеем или и

Очевидно, что в нашей последовательности значения d будут принимать все значения от -9 до 9 – всего 19 разностей, тогда чисел будет 20.

Положив и , получим искомую последовательность.

Если в пункте В) тяжело разобраться, то предлагаю другой способ:

В) Пусть минимальное число в данной последовательности : .

Очевидно, что

С другой стороны : , т.е на интервале от 50 до 1 мы сможем разместить не более 9 промежутков , которые будут разделять 10 чисел, затем еще 10 чисел мы разместим во второй части последовательности аналогичным образом.

Всего будет: 10+10=20 чисел. Пример см. выше