Задание 19. Вариант 14 ЕГЭ 2019

Задание 19. Вариант 14 ЕГЭ 2019

Задание 19. На доске написано более 50, но менее 60 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 5, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -10.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение.

а) Обозначим через   число положительных чисел, через   - число отрицательных, а через   - число и не положительных и не отрицательных чисел, то есть чисел 0. Тогда можно записать равенство

или в виде

.

Анализ данного выражения показывает, что сумма   должна быть целым числом, кратным 5, чтобы в результате получилось целое -3. Кроме того, в задаче сказано, что

.

В этом диапазоне числа кратные 5 это единственное число 55, следовательно,  .

Ответ: 55.

б) Ответ на этот вопрос дан в пункте в).

Ответ: отрицательных.

в) Найдем число положительных и отрицательных чисел. Из соотношения   при  , имеем

откуда

.

Заметим, что для максимизации   и  , число   должно быть минимально, то есть нужно взять такое минимальное  , чтобы число   делилось на 3 нацело. Таким число является   и

,

соответственно, максимальное число положительных чисел, будет равно

.

Ответ: 25.

Ответ задания: а) 55; б) отрицательных; в) 25.