Задание 18. Вариант 6 ЕГЭ 2022 профиль Ященко

Задание 18. Вариант 6 ЕГЭ 2022 профиль Ященко

Задание 18. Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число.

а) Может ли это отношение быть равным 11?

б) Может ли это отношение быть равным 5?

в) Какое наибольшее значение может принимать это отношение, если число не делится на 100 и его первая цифра равна 7?

Решение.

Любое натуральное трехзначное число abc можно записать в виде:

а) Запишем отношение трехзначного числа к сумме его цифр:

откуда

Подберем цифры a, b, c чтобы выполнялось это равенство. Например, при a = 1, имеем:

Здесь только один вариант: b = 9; c = 8. Получаем трехзначное число 198, которое при делении на сумму цифр дает 11.

б) Рассуждаем аналогично. Из равенства

при a = 1, имеем:

Какое бы значение c мы ни взяли, не получим натуральное значение для b.

Проверим при a = 9 (второй крайний случай):

Здесь также нет ни одного значения c, которое бы приводило к натуральным значениям b.

в) Первая цифра натурального трехзначного числа a = 7 и оно не делится на 100, значит величины b и c не должны одновременно быть равными 0. Получаем выражение для отношения:

Будем действовать полным перебором, начиная с b = 9 и c = 0. Получаем наибольшее значение 80 при цифрах: a = 7, b = 2, c = 0.

Ответ: а) да; б) нет; в) 80