Задание 18.Вариант 12 ЕГЭ 2022 Ященко

Задание 18.Вариант 12 ЕГЭ 2022 Ященко

Задание 18. На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы — цифру 8, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раза?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз?

в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?

Решение.

а) Предположим для простоты, что в каждой группе по одному натуральному числу и эти числа различны:

A, B, C

По условию задания к первому числу приписывается 1, ко второму – 8, а третье остается без изменений. Математически это можно записать так:

10A+1, 10B+8, C

Нужно найти такие A, B, C, чтобы сумма увеличилась в 4 раза, то есть, чтобы соблюдалось условие:

Сделаем это методом подбора. Положим первое число A=1, тогда:

Далее, выберем натуральное C такое, чтобы получалось натуральное B. Например, при C=9, B = 2 и имеем три натуральных числа:

1, 2 и 9

Для них выполняется равенство:

б) Предположим, что в 1-й группе оказалось m чисел с их суммой равной A, во второй – n чисел с суммой, равной B, а в третьей числа с суммой C. Тогда условие задания можно записать так:

Откуда

И, например, сумму A можно определить так:

При условии, что   значение A будет меньше m. Следовательно, условие б выполняться не может.

Ответ: а) да; б) нет