Задание 18. ЕГЭ 2022

Задание 18. ЕГЭ 2022

Задание 18. Для действительного числа x обозначим через [x] наибольшее целое число, не превосходящее x. Например, , так как .

а) Существует ли такое натуральное число n, что ?

б) Существует ли такое натуральное число n, что ?

в) Сколько существует различных натуральных n, для которых ?

Решение.

а) Для суммы дробей  можно записать неравенство:

б) Аналогично, имеем:

Необходимо подобрать такое n, чтобы:

откуда:

в) Значение n должно больше или равно числу 1945∙306, покажем это:

А все возможные натуральные числа n можно представить в виде:

где p, q, r, s – остатки от деления на 2, 3, 9 и 17 соответственно. Очевидно, что величина p может принимать только значения 0 или 1 (при делении на 2). Аналогично величины: q = {0, 1, 2}; r = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, s = {0, 1, …, 16}. Общее количество вариантов будет равно наименьшему общему кратному чисел 2, 9 и 17 (число 3 отбрасываем, т.к. оно учитывается числом 9). Имеем общее число вариантов:

2∙9∙17 = 306

Ответ: а) нет; б) да; в) 306