Задание 16. Вариант 9 ЕГЭ 2015

Задание 16. Вариант 9 ЕГЭ 2015

 Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 38 соответственно.

а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.

б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности.

Решение.

а) В равнобедренном треугольнике ABC стороны AB=AC=38, а основание BC=26. Вписанная окружность с центром в точке O пересекает среднюю линию MN в точке P и Q и высоту AH в точке K. Сторон треугольника окружность касается в точках D, E и H, то есть, отрезки OD=OE=OH=r.

Так как MN – средняя линия, то  ,  . Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB (так как AH – высота). В соответствии с теоремой Пифагора, имеем:

Сторона   (так как MN – средняя линия). Выразим радиус r окружности через площадь треугольника ABC:

,

где p – полупериметр треугольника, откуда

.

Также, площадь треугольника ABC равна

Таким образом,

,

а  . Заметим, что длина отрезка   и это значит, что

,

то есть окружность пересекает среднюю линию MN.

б) Требуется найти длину отрезка PQ (см. рисунок). Точки M и N средней линии MN лежат в центрах отрезков AB и AC соответственно. То есть,  . По теореме о касательных к окружности AD=AE, BD=BH, CE=CH и периметр треугольника ABC:

Отсюда

(MD – касательная к окружности, MN – секущая). По теореме о касательной и секущей, имеем:

Подставим в (*) значения MP и MQ, получим:

Ответ: 5.