Задание 16.Вариант 8 ЕГЭ 2021

Задание 16.Вариант 8 ЕГЭ 2021

Задание 16. На сторонах АС, АВ и ВС прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и ВМС с прямыми углами К, L и М соответственно.

а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM.

б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 4.

Решение.

а)      По условию . Значит, четырёхугольник LACB вписанный.

Хорды AL и LB описанной около четырёхугольника LACB окружности равны. Значит, равны между собой стягиваемые этими хордами дуги, а также опирающиеся на эти дуги вписанные углы ACL и LCB. Тогда .

По условию . Следовательно,  и , а значит, LC — высота треугольника KLM.

б)      Пусть ВС = а, AC = b, АВ = c и CL = d, Р — точка пересечения CL и АВ. Тогда по доказанному в п. a CP — биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрисы АР : РВ = АС : СВ = b:а, АР + РВ = АВ = с. Отсюда

Поскольку , получаем, что треугольники ACL и PAL подобны по двум углам. Следовательно:

;  и

Площадь треугольника KLM равна половине произведения его высоты LC = d на основание . Следовательно, искомая площадь равна

Ответ: 8