Задание 16.Вариант 33 ЕГЭ 2023

Задание 16.Вариант 33 ЕГЭ 2023

Задание 16. Окружность проходит через вершины А, В и D параллелограмма ABCD, пересекает сторону ВС в точках В и М, а также пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке N.

а) Докажите, что AM=AN.

б) Найдите отношение CD : DN, если АВ : ВС = 1:3, a  .

Решение.

а) Углы   как соответственные углы при параллельных прямых BC, AD и секущей CN. Угол  , так как сумма углов в параллелограмме, прилегающих к одной стороне, равна 180º. Следовательно,  .

Рассмотрим четырехугольник ABMN вписанный в окружность. Сумма его противоположных углов равна 180º, в частности,  . Следовательно,

Получаем равенство углов:   и треугольник AMN – равнобедренный с AM=AN.

б) Рассмотрим параллелограмм ABCD, в котором противоположные углы равны:

и противоположные стороны также равны: AD=BC. По условию задания дано AB:BC = 1:3. Обозначим AB=x, BC=3x. Рассмотрим трапецию ABMD вписанную в окружность, следовательно, она равнобедренная. Получаем, что AB=MD и AB=CD, значит, MD=CD и треугольник MDC – равнобедренный. Проведем высоту DH, получим:

Следовательно,  , а

Рассмотрим две секущие CB и CN, проведенные из одной точки C. По теореме о двух секущих можно записать равенство:

Далее,   и

Получили отношение CD:DN = 5:7

Ответ: 5:7