Задание 16. Вариант 2 ЕГЭ 2022

Задание 16. Вариант 2 ЕГЭ 2022

Задание 16. Точки A, В, С, D и E лежат на окружности в указанном порядке, причём ВС = CD = DE, а  . Точка K — пересечение прямых BE и AD.

а) Докажите, что прямая СЕ делит отрезок KD пополам.

б) Найдите площадь треугольника АВК, если AD = 4, DC = √3 .

Решение.

а) Углы:  ;  . Учитывая, что   (так как BC = CD = DE – по условию), имеем:

Далее, углы   (так как опираются на равные дуги). Следовательно, в треугольнике KED отрезок EM является высотой и биссектрисой, значит, треугольник KED – равнобедренный и EM является медианой, то есть, KM = MD и M – середина отрезка KD.

б) Углы  , так как опираются на равные дуги ( ). Следовательно,   и   (так как  ).

Пусть  , тогда (из треугольника ACD):

Углы   (опираются на равные дуги), отсюда имеем, что   (также опираются на равные дуги). Рассмотрим равнобедренный треугольник BAK. В нем AH является высотой и биссектрисой, следовательно, H – середина BK.

Рассмотрим треугольник BHC:

Следовательно:

Рассмотрим треугольник ABH, из которого:

Площадь треугольника ABK, равна:

Ответ: