Задание 16. Вариант 14 ЕГЭ 2019

Задание 16. Вариант 14 ЕГЭ 2019

Задание 16. В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания ВС.

а) Докажите, что высота ВН трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины В до середины диагонали АС, если AD = 72 и АС = 50.

Решение.

а) Пусть BC=x, тогда AD=3x (в 3 раза больше). По условию трапеция ABCD – равнобедренная с AB=CD и AH=H1D. Так как HH1 = BC, то HH1=x и

Получаем, что AH=HH1=H1D=x, а HD=HH1+H1D=2x. То есть, высота BH разбивает основание AD на отрезки AH и HD в отношении 1:2.

б) Проведем диагональ AC и отметим на ней точку O так, что AO=OC=AC:2=50:2=25 (см. рисунок). По условию AD=72, тогда BC=72:3=24, а AH1=2BC=48. Найдем высоту CH1 из прямоугольного треугольника ACH1:

Значит, BH=CH1=14, AH=AD:3=24. Найдем длину AB из прямоугольного треугольника ABH:

По теореме косинусов найдем косинус угла BAC из треугольника ABC:

Рассмотрим треугольник ABO. По теореме косинусов

Ответ: 7.