Задание 16. Математика ЕГЭ.

Задание 16. Математика ЕГЭ.

Две окружности касаются внутренним образом в точке К, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке С. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках А и В соответственно, а отрезки КС и АВ пересекаются в точке L.

а) Докажите, что CN : CM = LB : LA.

б) Найдите MN, если LB : LA = 2 : 3, а радиус малой окружности равен √23.

Решение:

а) Докажите, что CN : CM = LB : LA.

Точка О – центр большей окружности. Так как окружности касаются внутренним образом и меньшая окружность проходит через центр большей окружности, то КО – диаметр меньшей окружности.

Точка В лежит на окружности с диаметром КО, значит, угол ∠КВО = 90°, т. е. отрезок ВО перпендикулярен отрезку KN. Отрезок ВО – высота равнобедренного треугольника ∆KNO, следовательно, ВО – медиана треугольника ∆KNO. Поэтому точка В – середина отрезка KN.

Точка А лежит на окружности с диаметром КО, значит, угол ∠КАО = 90°, т. е. отрезок АО перпендикулярен отрезку KМ. Отрезок АО – высота равнобедренного треугольника ∆KМO, следовательно, АО – медиана треугольника ∆KМO. Поэтому точка А – середина отрезка KМ.

Тогда АВ – средняя линия треугольника ∆KMN, следовательно, АВ параллельна MN.

Треугольники ∆AKL и ∆MKC – подобные треугольники (∠AKL – общий угол, ∠KAL = ∠KMC), следовательно,

(1)

Треугольники ∆LKB и ∆CKN – подобные треугольники (∠LKB – общий угол, ∠KLB = ∠KCN), следовательно,

(2)

Из (1) и (2) равенств получаем:

б) Найдите MN, если LB : LA = 2 : 3, а радиус малой окружности равен √23.

Известно, что

Пусть 1 часть равна x, тогда CN = 2x, MC = 3x, MN = 5x. В равнобедренном треугольнике ∆MON проведем высоту ОН, высота ОН также является медианой, значит, MH = HN = 2,5x.

Из прямоугольного треугольника ∆MOH по теореме Пифагора найдем ОН:

ОН² = МО² – МН²

ОН = R = 2r = 2√23

ОН² = (2√23)² – (2,5x)² = 92 – 6,25x²

Проведем OD перпендикулярно QC, DC = OH:

QD = QC – DC

QO = QC = r = √23

OD = CH = MH – MC = 2,5x – 2x = 0,5x.

Из прямоугольного треугольника ∆QDO по теореме Пифагора:

QO² = DO² + QD²

Условию задачи удовлетворяет значение x = 23/6, тогда MN = 5x = 5·(23/6) = 115/6.

Ответ: 115/6