Задание 16. ЕГЭ 2023

Задание 16. ЕГЭ 2023

Четырёхугольник ABCD со сторонами ВС = 7 и АВ = CD = 20 вписан в окружность радиусом R = 16.

а) Докажите, что прямые ВС и AD параллельны.

б) Найдите AD.

Решение.

а) Проведем отрезок AC. Пусть  . Угол CAD опирается на дугу CD, а угол BDA опирается на дугу AB. Так как AB = CD, то дуги AB = СD и  .

Далее,   (опираются на одну и ту же дугу). И   (по свойству противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность). Следовательно:  .

Далее,   (по свойству противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность). И  . Следовательно:

Так как углы A и B – односторонние для прямых BC, AD и секущей AB, то

б) Так как  , то четырехугольник ABCD – трапеция. По условию AB=CD, следовательно, ABCD – равнобедренная трапеция.

Из треугольника ABC:

Из треугольника ACD:

Получаем:

Из треугольника BAH:

следовательно:

Ответ: 32