Задание 16. ЕГЭ 2022

Задание 16. ЕГЭ 2022

Задание 16. Точки A1, B1, C1 — середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника ABC.

а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников A1CB1, A1BC1 и В1АС1 пересекаются в одной точке.

б) Известно, что АВ = АС = 13 и ВС =10. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого — центры окружностей, описанных около треугольников A1CB1, A1BC1 и В1АС1.

Решение.

а) Пусть α, β, γ — углы при вершинах A, B и C треугольника ABC соответственно, М — отличная от А1 точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A1CB1 и А1ВС1.

Четырёхугольник А1ВС1М вписан в окружность, поэтому

Аналогично . Значит,

поэтому четырёхугольник B1AC1M — вписанный. Следовательно, точка М лежит на описанной окружности треугольника B1AC1.

б) Отрезок AM — диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника B1AC1, поэтому отрезок MB1 перпендикулярен отрезку АС. Значит, CM — диаметр окружности, описанной около треугольника A1CB1. Аналогично BM — диаметр окружности, описанной около треугольника A1BC1. Центры этих трёх окружностей — середины отрезков AM, ВМ и СМ. По теореме о средней линии треугольника стороны треугольника с вершинами в центрах трёх указанных окружностей соответственно параллельны сторонам треугольника ABC. Значит, треугольник с вершинами в центрах этих окружностей подобен треугольнику ABC с коэффициентом 1/2.

Пусть r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда

Следовательно, искомый радиус равен: