Задание 14. Вариант 6 егэ 2016

Задание 14. Вариант 6 егэ 2016

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E:EA = 5:3, на ребре BB1 - точка F так, что B1F : FB = 5:11, а точка T - середина ребра B1C1. Известно, что AB = 6√2, AD = 10, AA1 = 16.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT .

Решение.

а) По условию задачи   и  , следовательно,   и  . Аналогично для  , следовательно,   и  . Из полученных значений длин отрезков видно, что подобные треугольники   и   имеют коэффициент подобия  , т.е. треугольник   имеет длины сторон в 2 раза меньше соответствующих длин треугольника  . В частности, это означает, что точка T будет проецироваться в точку   при масштабировании плоскости EFT, т.е. плоскость EFT будет проходить через точку  .

б) Найдем площадь сечения  . Найдем длину отрезка  . Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник  , из которого по теореме Пифагора, имеем:

.

Найдем аналогичным образом длину отрезка   из прямоугольного треугольника   (здесь длина  ):

.

Равенство сторон   и   означает, что сечение   является равнобедренной трапецией.

Найдем длину отрезка FT из прямоугольного треугольника  :

,

длину отрезка   из прямоугольного треугольника  :

.

Зная основания равнобедренной трапеции, можно найти длину EH по формуле:

и из прямоугольного треугольника   находим высоту трапеции  :

Таким образом, площадь сечения, равна:

Ответ: 97,5.