Задание 13. Вариант 2 ЕГЭ 2022

Задание 13. Вариант 2 ЕГЭ 2022

Задание 13. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD равна 10, высота SH равна 12. Точка K — середина бокового ребра SD. Плоскость АКВ пересекает боковое ребро SC в точке Р.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника CDKP составляет 3/4 площади треугольника SCD.

б) Найдите объём пирамиды ACDKP.

Решение.

а) Пирамида SABCD – правильная четырехугольная, следовательно, в ее основании лежит квадрат ABCD. Плоскость AKB (K – середина SD) пересекает ребро SC в точке P так, что  , следовательно, P – середина SC и PK – средняя линия треугольника SCD. Значит,   и  .

б) Объем пирамиды SABCD можно определить формулой:

Подставляем числовые значения, получаем:

Так как K – середина SD и  , то  . Следовательно:

и

Пирамиды ASCD и ACDKP имеют одну и ту же высоту. Обозначим ее через h – это расстояние от точки A до плоскости SCD.

Площадь четырехугольника CDKP, можно определить как:

Из формулы объема пирамиды ASCD найдем произведение  :

тогда

Ответ: 150