Задачи на теорему Чевы

Задачи на теорему Чевы

Задача 1

На сторонах треугольника ABC взяты точки A1​∈BC, B1​∈CA, C1​∈AB так, что

BA1​:A1​C=1:1, CB1​:B1​A=1:1, AC1​:C1​B=1:1. Докажите, что отрезки AA1​, BB1​, CC1​ пересекаются в одной точке.

Задача 2

В треугольнике ABC на стороне BC взята точка A1​ с BA1​:A1​C=2:3, на стороне CA — точка B1​ с CB1​:B1​A=1:4. В каком отношении точка C1​ на стороне AB должна делить отрезок AB, чтобы чевианы AA1​, BB1​, CC1​ пересекались в одной точке?

Задача 3

В треугольнике ABC точки A1​, B1​, C1​ лежат на прямых BC, CA, AB соответственно, причём A1​ — на продолжении BC за C, B1​ — на продолжении CA за A, C1​ — на продолжении AB за B. Известно, что BA1​:A1​C=3:1 (по модулю), CB1​:B1​A=2:1 (по модулю). Найдите отношение AC1​:C1​B (по модулю), при котором AA1​, BB1​, CC1​ пересекаются в одной точке.

Задача 4

В треугольнике ABC на стороне BC взята точка A1​ так, что BA1​:A1​C=3:2, на стороне CAA — точка B1​ так, что CB1​:B1​A=4:1, на стороне AB — точка C1​ так, что AC1​:C1​B=1:6. Докажите, что прямые AA1​, BB1​, CC1​ пересекаются в одной точке.

Задача 5

В треугольнике ABC чевианы AA1​, BB1​, CC1​ пересекаются в точке P. Известно, что BA1​:A1​C=2:1 и AC1​:C1​B=3:4. Найдите отношение CB1​:B1​A.

Ответы к задачам на теорему Чевы

Задача 1. Произведение отношений =1⋅1⋅1=1, условие Чевы выполнено — прямые AA1​, BB1​, CC1​ пересекаются в одной точке (центроид, медианы).

Задача 2. AC1​:C1​B=6:1.

Задача 3. AC1​:C1​B=1:6 (по модулю).

Задача 4. Произведение отношений =3/2⋅4/1⋅1/6=1, условие Чевы выполнено — прямые пересекаются в одной точке.

Задача 5. CB1​:B1​A=2:3.