Вращающиеся тела

ՊՏՏԱԿԱՆ ՄԱՐՄԻՆՆԵՐ

Մենք արդեն ուսումնասիրել ենք բազմանիստները,որոնց մակերևույթը կազմնած է վերջավոր թվով բազմանկյուններից։ Սակայն մեր շրջակայքի առարկաներից բոլորը չէ, որ բազմանիստի տեսք ունեն։ Բաժակները, դույլերը, կաթսաները,պահածոների տուփերը,ֆուտբոլի կամ թենիսի գնդակները և բազմաթիվ այլ առարկաներ, ինչպես ընդունված է անվանել կլոր մարմիններ են։Մենք հաճախ լսում և արտաբերում ենք երկրագունդ, քառագլան շարժիչ,կոնաձև գմբեթ և նման այլ բառեր և բառակապակ- ցություններ,որոնցով արտահայտվող պատկերներն են գունդը,գլանը, կոնը։ Այս պատկերները միավորվում են մեկ այլ անվանումով ևս․դրանք կոչվում են նաև պտտական պատկերներ։ Այդպիսի անվանման հիմքում ընկած է այն հանգամանքը,որ գլանը,կոնը,գունդը, ինչպես նաև տարա ծական բազմաթիվ այլ պատկերներ կարող են ստացվել պտտման միջոցով։

Կետի պտույտի նմանությամբ և նրա հիման վրա դիտարկվում է նաև ցանկացած գծի պտույտի տրված առանցքի շուրջը։

ՈՒրեմն՝ կետի պտտումից առաջանում է շրջանագիծ,իսկ գծի պտտումից՝ մակերևույթ,որը հաճախ անվանվում է

նաև պտտական պատկեր։Երկրաչափության մեջ ուսումնասիրվում են առանցքի շուրջ տարբեր գծերի պտտումից առաջացած պատկերներ։Այդպիսի տեսք ունեն,օրինակ,բրուտագործների պատրաստած իրերից շատերի մակերևույթները։Սակայն մենք այստեղ կդիտարկենք միայն համեմատաբար պարզ,բայց լայն կիրառություններ ունեցող պատկերները՝ գլանը,կոնը և գունդը։

Տեսակներ

Գլան Կոն

Գունդ

Գլան

•   Նրա  մակերևույթը  կազմված է երկու հիմքերից և կողմնային մակերևույթից։ Ուղիղ  շրջանային  գլանի հիմքերը երկու հավասար շրջաններ են, որոնք տեղադրված են զուգահեռ հարթություններում այնպես, որ նրանց կենտրոններով անցնող ուղիղը ուղղահայաց է այդ հարթություններին։ Այդ ուղիղը կոչվում է գլանի առանցք։ Գլանի կողմնային մակերևույթը կազմում են նրա հիմքերին ուղղահայաց բոլոր այն հատվածները, որոնց ծայրերը պատկանում են հիմքերի շրջանագծերին։ Այդ հատվածները կոչվում են  գլանի ծնորդներ , իսկ հիմքերի կենտրոնները միացնող հատվածը՝  գլանի բարձրություն ։ Դրանք իրար հավասար հատվածներ են։ Ծնորդի երկարությունը հավասար է բարձրությանը։ Եթե գլանի կողմնային մակերևույթը կտրենք ծնորդով, նրա փռվածքը կլինի ուղղանկյուն, որի կողմերից մեկը հավասար է գլանի ծնորդին, իսկ մյուսը՝ գլանի հիմքի շրջանագծի երկարությանը։ Ուստի եթե h–ով նշանակենք գլանի բարձրությունը, իսկ r–ով՝ հիմքի շառավիղը, ապա գլանի կողմնային

մակերևույթի մակերեսը՝

• S=2rh
• իսկ լրիվ մակերևույթի մակերեսը՝
• S=2rh+2r²

r

հ–գլանի բարձրություն, r–հիմքի շառավիղ

Գլանի հատկությունները

• Հատկություն 1

Եթե հատող հարթությունն ուղղահայաց է գլանի առանցքին, ապա այն գլանի կողմնային մակերևույթը հատում է մի շրջանագծով, որը հավասար է  գլանի  հիմքի  շրջանագծին ։

• Ապացույց

Այս փաստը անմիջապես բխում է տարածության մեջ զուգահեռ տեղափոխության այն հատկությունից, ըստ որի ցանկացած հարթություն անցնում է իրեն զուգահեռ հարթության կամ ինքն իրեն։ Դիցուք ß_ն գլանը հատող և նրա հիմքին զուգահեռ հարթությունն է։ Գլանի  առանցքի  ուղղությամբ զուգահեռ տեղափոխությունը, որը համատեղում է ß հարթությունը գլանի հիմքի հարթության հետ, համատեղում է կողմնային մակերևույթի հատույթը հիմքի շրջանագծի հետ։

• Հատկություն 2

Գլանի առանցքին զուգահեռ հարթությունը գլանը հատում է ուղղանկյունով։

• Ապացույց
• Դիցուկ MN -ը գլանի OO₁առանցքին զուգահեռ a հարթության և գլանի հիմքի հատման գիծն է։ M և N կետերով տանելով գլանի MM₁ և NN₁ ծնորդները՝ կստանանք MM₁N₁N ուղղանկյունը, որի հարթությունը զուգահեռ է OO₁ -ին, որովհետև MM₁IIOO₁:Քանի որ MN և OO₁ խաչվող ուղիղներից մեկով (MN-ով) անցնում է մյուսին զուգահեռ միայն մեկ հարթություն,ապա MM₁N₁N հարթությունը համընկնում է a հարթության հետ:

Գունդ

• Գնդային մակերևույթ կոչվում է տարածության բոլոր այն կետերի բազմությունը, որը կազմված է տրված կետից տվյալ հեռավորությունն ունեցող կետերից: Տրված կետը կոչվում է գնդային մակերևույթի կենտրոն, տրված հեռավորությունը կոչվում է գնդային մակերևույթի շառավիղ: Գնդային մակերևույթի որևէ երկու կետ միաց- նող հատվածը, որն անցնում է կենտրոնով, կոչվում է գնդային մակերևույթի տրամագիծ:
• Գնդի մակերևույթ՝ 4,d,որտեղ -շառավիղ

d-տրամագիծ

• Գունդը կառաջանա որպես պտտական մարմին,եթե  շրջանը  կամ  կիսաշրջանը  պտտենք  տրամագծի  շուրջը
• Գնդային գոտի
• Գնդին ներգծված և արտագծված մարմիններ

Գնդային գոտի

• Գնդային գոտի կոչվում է սֆերայի այն մասը, որն առնված է գունդը հատող երկու զուգահեռ հարթությունների միջև, իսկ գնդի համապատասխան մասը կոչվում է գնդային շերտ։ Եթե այդ երկու զուգահեռ հարթություններից մեկը շոշափում է սֆերան, ապա ստացվում է գնդային սեգմենտ։ Եթե այդ հարթություններից մեկը շոշափում է գնդոլորտը, իսկ մյուսը անցնում է գնդի կենտրոնով, ապա ստանում ենք կիսագունդ։

Գնդին ներգծված և արտագծված մարմիններ

• Բազմանիստը կոչվում է գնդային մակերևույթին արտագծած, եթե գնդային մակերևույթը շոշափում է նրա բոլոր նիստերը։ Այդ դեպքում գնդային մակերևույթը
• կոչվում է ներգծված բազմանիստին։

• Բազմանիստը կոչվում է ներգծած գնդային մակերևույթին, եթե նրա բոլոր գագաթները ընկած են գնդային մակերևույթի վրա։ Այդ դեպքում գնդային մակերևույթը
• կոչվում է արտագծված բազմանիստին։

• Եթե կանոնավոր պրիզմային կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ, ապա գնդային մակերևույթի կենտրոնը բազմանիստի հիմքերի կենտրոնները միացնող հատվածի միջնակետն է։
• Կանոնավոր պրիզմային արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը բազմանիստի հիմքերի կենտրոնները միացնող հատվածի միջնակետն է։
• Կանոնավոր բուրգին ներգծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը գտնվում է բուրգի բարձրության վրա։
• Կանոնավոր բուրգին արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը գտնվում է բուրգի բարձրության կամ նրա շարունակության վրա։
• Գնդային մակերևույթը կոչվում է ներգծված գլանին, եթե այն շոշափում է գլանի հիմքերը և բոլոր ծնորդները։
• Գնդային մակերևույթը կոչվում է ներգծված կոնին, եթե այն շոշափում է կոնի հիմքը և բոլոր ծնորդները։
• Գլանը կոչվում է ներգծված գնդային մակերևույթին, եթե գլանի հիմքերը գնդային մակերևույթի հատույթներ են։

Կոն

• Կոնը կարելի է ստանալ՝ պտտելով POA ուղղանկյուն եռանկյունը իր էջերից որևէ մեկի, օրինակ՝ PO -ի շուրջ: Նույն կոնը կստացվի, եթե APB հավասարասրուն եռանկյունը պտտել PO բարձրության շուրջ:

Կոնի առանցքային հատույթը, որը անցնում է նրա գագաթով, հանդիսանում է PA և PB սրունքներով հավասարասրուն եռանկյուն: PA -ն և PB -ն կոչվում են կոնի ծնորդներ և նշանակվում են l տառով:

Եռանկյան պտույտից առաջացած O կենտրոնով շրջանը կոչվում է կոնի հիմք:

Կոնի շառավիղ կոչվում է նրա հիմքի R=OA=OB շառավիղը:

Կոնի կողմնային մակերևույթի բացվածքը երկրաչափական պատկեր է, որը կոչվում է շրջանի սեկտոր: Այն իրենից ներկայացնում է շրջան, որից դուրս է բերված նրա կենտրոնային անկյունը:

Սեկտորի շառավիղը հավասար է l -ի:

Կոնի կողմնային մակերևույթի մակերեսը հաշվում են Sկողմն=πRl բանաձևով:

Լրիվ մակերեսը հավասար է՝

S=Sկողմն+Sհիմք=πRl+πR2

• Հատած կոն
• Կոնի մակերևույթի մակերես

Հատած կոն

Կոնն իր առանցքին ուղղահայաց հարթությամբ հատելիս տրոհվում է կոնի և հատած կոնի։ Սկզբնական կոնի հիմքը և հատույթում առաջացած շրջանը կոչվում են հատած կոնի հիմքեր, իսկ նրանց կենտրոնները միացնող հատվածը` հատած կոնի բարձրություն:

Կոնի ծնորդների այն հատվածները, որոնք ընկած են հիմքերի միջև, կոչվում են հատած կոնի ծնորդներ։

Կոնական մակերևույթի այն մասը, որը սահմանափակում է հատած կոնը, կոչվում է հատած կոնի կողմնային մակերևույթ։