Устойчивость систем управления

УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

ПОНЯТЬ

Общие представления об устойчивости носят основополагающий характер в нашем восприятии мира. Человек может изучать и работать с теми объектами, которые ощутимо сохраняются во времени или повторяются. Без наличия определенной устойчивости не может существовать сознание, да и вообще живой организм.

Можно подойти к общему определению устойчивости системы, говоря, что данная система устойчива, или структурно устойчива, если достаточно малые изменения в структуре самой системы вызывают такое ее поведение, которое в некотором смысле качественно аналогично поведению исходной модели. Разумеется, в каждом конкретном случае мы должны точно определить, что подразумевается под выражением «достаточно малые» и «качественно аналогично».

ПРИМЕР. Солнечная система, является устойчивой системой. Эта устойчивость объясняется доминирующим действием Солнца, подавляющим взаимное притяжение планет. С другой стороны, это действие дает планетам «свободу» движения. Если бы притяжение было бы очень сильным, планеты бы просто бы упали на Солнце.

Предположим теперь, что мы имеем систему притягивающихся друг к другу планет учета притяжения Солнца. В простейшем случае, когда у нас только три планеты, мы приходим к знаменитой и очень сложной задаче «трех тел». Как будет вести себя система из трех тел, между которыми существует сила притяжения, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними? Оказывается – очень непросто и до конца эта задача не решена до сих пор.

ПРИМЕР Другим астрономическим примером служит внутренняя устойчивость звезды. Она обеспечивается взаимодействием двух противоположных процессов: сжатия вещества под влиянием гравитации и его расширения, за счет кинетической энергии, приобретенной в ядерных реакциях. Сжатие повышает плотность и температуру, что ведет к усилению термоядерной реакции. Полученная при этом кинетическая энергия вещества ведет к расширению вещества, а значит к понижению температуры и плотности. Тогда уменьшается интенсивность термоядерных реакций и гравитационные силы сжимают вещество. Поэтому устойчивость звезды очень подвижна и реализуется в виде сложных колебаний.

ПРИМЕР. Для исследования проблем устойчивости известный специалист по кибернетике Р.Эшби создал модель сложной системы, состоящей всего из четырех блоков, связанных между собой определенными связями. В каждом из них имелся поворачивающийся под действием электрического тока магнит, положение которого влияло на величину электрического тока, подаваемого на другие блоки. Когда включали эту систему, все магниты начинали поворачиваться под действием токов от других блоков эти движения изменяли величину протекающего через них тока, который в свою очередь изменял движение магнитов.

В большинстве случаев модель оказалась неустойчивой. Однако при некоторых соотношениях между влияниями блоков устанавливалось динамическое равновесие: когда какой-нибудь блок выводится из занятого им положения, во всех остальных блоках происходили такие изменения, что в результате равновесие восстанавливалось.

При изучении устойчивости система очень важным является понятие аттрактора( to attract - притягивать), то есть такого состояния системы, к которому она стремиться, «притягивается».

ПРИМЕР Простым примером системы, иллюстрирующей понятие аттрактора, является маятник. Обычный движущийся маятник, под действием сил трения в конце концов останавливается. Точка, в которой он останавливается и есть в данном случае аттрактор, поскольку именно она, в процессе движения «притягивала» к себе маятник. Если описать движение маятника в прямоугольной системе координат, где по одной оси откладывается угол отклонения маятника от вертикали, а по другой – скорость изменения этого угла (в математике это называется фазовой плоскостью), то движение маятника в этой системе будет представлять собой движение точки, вокруг аттрактора - начала координат (рис. ).

РИСУНОК СПИРАЛИ

ПРИМЕР По-другому ведет себя система, состоящая из часового механизма, маятника и груза на цепочке. Если раскачать маятник сильным толчком, то он сначала будет сильно раскачиваться, замедляясь до некоторого стабильного, устойчивого состояния. На фазовой плоскости это состояние изображается окружностью, которая в данном случае и является аттрактором.

РИСУНИК СПИРАЛИ С ОКРУЖНОСТЬЮ

Устойчивость является необходимым условием управления. Используя понятие аттрактора можно сказать, что управляющие воздействия должны, с одной стороны обеспечить достижение поставленной цели, с другой – не нарушать относительной устойчивости системы, т.е. не выходить за пределы аттрактора, если система является изначально устойчивой. Если же напротив, система изначально является неустойчивой (например, государство в момент кризиса), то управление с необходимостью должно привести систему к относительно устойчивому состоянию, к аттрактору.

Системы, управляемые субъектом, так и самоуправляемые системы могут быть устойчивыми или неустойчивыми.

Устойчивость системы управления может быть достигнута разными очень разными путями, иногда очень простыми и остроумными.

ПРИМЕР Известно, что на военном флоте с давних времен устные команды и распоряжения, дословно повторяются теми, к кому они относятся. Например, офицер командует: «поднять якорь», а матрос отвечает «есть поднять якорь». Этим простым приемом достигалась значительная устойчивость в управлении сложной системой, кораблем. При шуме ветра и волн матрос мог неправильно понять приказ и его дублирование, позволяло офицеру это проконтролировать.

По-видимому, самым эффективным средством повышения устойчивости управляемой и самоуправляемой системы – это усиление влияния субъекта управления.

ПРИМЕР Как известно в 1929 году в США и многих странах Западной Европы разразился глубочайший экономический кризис, получивший название Великой Депрессии. Решающая роль в его преодолении принадлежала государству (субъекту управления). Например, расходы правительства США в 1941 году увеличились на 105% (по сравнению с 1940 г.), в 1942 году – на 175%, а в 1943 году еще на 50%. В 1944 году расходы правительства США, даже с поправкой на рост цен были в 6,5 раза выше, чем в 1940 году. В 1944 году только для государственного сектора было произведено столько же, сколько для государственного и частного секторов вместе взятых. Именно военные расходы встряхнули экономику США и вывели ее из трясины Великой депрессии.

Примечание. В связи с этим, небезинтересно отметить, какие рекомендации предлагаются влиятельными мировыми финансовыми организациями странам, для преодоления кризиса. Эти рекомендации сводятся, в основном, к либерализация цен, приватизация предприятий, свободе . При этом в качестве средства демонополизации рекомендовалось передавать права собственности в руки холдинговых компаний, которые не вмешиваются в повседневную деятельность предприятий, но следят за их прибыльностью и сохранностью фондов. Как известно, именно холдинговые компании были практически повсеместно запрещены после Великой депрессии, поскольку они проявили себя как наиболее хищническая и безответственная форма монополистических объединений.

Как видно, эти рекомендации прямо противоположны тем мерам, с помощью которых экономика США вышла из кризиса.

В процессе управления, не менее важно знать те состояния системы, в которых она не является устойчивой. Если цели управления и управляющие воздействия субъекта управления хорошо согласованы, такие состояния практически не возникают, поскольку субъект, как правило, оперативно реагирует на первые признаки неустойчивости и стабилизирует систему. Иное дело самоуправляемая система или система когда субъект управления фактически не выполняет своих управленческих функций. В таких системах часто возникают кризисные ситуации.

С точки зрения традиционной схемы управления это состояние крайне нежелательно. Более свободный взгляд видит в кризисах эффективный инструмент управления.

Фундаментальной значение в этом случае приобретают так называемые точки бифуркации (от французского la bifurcation - раздвоение), то есть такие точки, в которых система становится менее устойчивой и ее дальнейшее развитие зависит от случайных факторов.

ПРИМЕР Пусть к балке, изображенной на рисунке…приложена переменная сила F. Какое-то время балка находится в устойчивом состоянии, а затем, при некотором значении F₀ прогибается. При этом, в какую сторону она прогнется: вправо или влево зависит от случайных факторов. Значение силы F₀ и определяет точку бифуркации. Возможное развитие системы показано на графике.

F F

Y

Y

F₀ F

рис.

Как это свойство точек бифуркации в процессе управления. Предположим, что существует субъект, который поставил перед собой цель прогнуть балку в определенную сторону.

R

G

рис.

Будем считать, что балка является достаточно прочной и прямое управляющее воздействие G, необходимое для изгибания балки является очень большим и, возможно, недостижимым для субъекта.

Однако, зная свойства точек бифуркации можно кардинально поменять стратегию управления. Можно подействовать на балку силой F, а в точке бифуркации F₀ , подействовав малой силой R можно добиться желаемого результата.

Разумеется, сила F также весьма значительна, но она в отличие от силы G действует «скрыто», поскольку направление прогиб балки определяется направлением малой силы R.

ПРИМЕР Управление с использованием точек бифуркации известно очень давно. Как свидетельствует история, рядом с властным лицом, не отличающимся умом или сдержанностью, всегда находится Некто, кто в критические моменты (т.е. точки бифуркации) давал ему советы, направляя его волю во вполне определенное направление. История сохранила нам имена многих таких людей:

ЗНАТЬ

Cистема называется устойчивой (или структурно устойчивой), если достаточно малые изменения в структуре системы вызывают такое ее поведение, которое в некотором смысле качественно аналогично поведению исходной модели.

В каждом конкретном случае мы должны точно определить, что подразумевается под выражением «достаточно малые» и «качественно аналогично».

При изучении устойчивости система очень важным является понятие аттрактора( to attract - притягивать), то есть такого состояния системы, к которому она стремиться, «притягивается». Понятие аттрактора является обобщением понятия равновесия. Устойчивость системы определяется структурой аттрактора.

Фундаментальной значение в описании поведения системы играют точки бифуркации (от французского la bifurcation - раздвоение), то есть такие точки, в которых система становится менее устойчивой и ее дальнейшее развитие зависит от случайных факторов.

УМЕТЬ

ЗАДАНИЕ 1

ЗАДАНИЕ 2

ВОПРОС-ПРОБЛЕМА

Как следует из доклада ООН о человеческом развитии за 1998 год, три самых богатых человека в мире имеют совокупное личное состояние, превышающее валовой продукт 48 наименее развитых стран; 225 самых богатых людей планеты имеют совокупное состояние более чем 1 трл. долларов, а 3/5 из 4.4. млрд. жителей развивающихся стран лишены канализации, 1/3 – чистой воды, 1/5 – медицинского обслуживания. Американцы тратят на косметику 8 млд. долларов в год. По оценкам ООН, 6 млрд. долларов хвалило бы для того, чтобы дать всем детям мира начальное образование. Европейцы съедают мороженого на 11 млрд. долларов в год, в то время как 9 млрд. долларов хватило бы на то, чтобы обеспечить чистой водой и надежной канализацией всех нуждающихся в мире. Американцы и европейцы тратят 17 млрд. долларов на корм для домашних животных; 13 млрд. хватило бы, чтобы обеспечить элементарную медицинскую помощь всех нуждающихся по всему миру.

Можно ли считать такую цивилизацию устойчиво системой? Предложите свой способ управления, позволяющий сохранить (создать?) устойчивость в этой системе.

Примечание Вспомните про основные свойства информации.

Идея устойчивости является развитием принципа непрерывности, который был впервые сформулирован немецким математиком и философом Г.В. Лейбницем как философское и математическое выражение естественнонаучного взгляда на мир. Действительно, если в мире нет точек разрыва и он плавно "перетекает" от одной точки другой это означает, что в нем нет места божественному вмешательству и все развитие естественным, природным путем.

Лейбниц дал несколько формулировок принципа непрерывности. В частности, в письме к математику Вариньону он говорит о нем так: «По моему убеждению, в силу оснований метафизики (т.е. философии – прим. авторов) все в универсуме связано таким образом, что настоящее таит в себе будущее и всякое настоящее состояние естественным образом объяснимо с помощью другого состояния, ему непосредственно предшествующего».

Постепенно, однако, стало складываться представление, что принцип непрерывности имеет ограничения. Стало ясно, что в неустойчивом мире событие далеко не всегда определяется предшествующим состоянием мира, что в нем существуют непредсказуемые «повороты». Стало понятно, что для более точного (адекватного) описания явлений внешнего мира надо изучать не столько непрерывность, сколько отклонения от нее.

Нарушение принципа непрерывности современная наука отнюдь не воспринимает как ограничение пределов научного познания вооб­ще. Напротив, она стремиться построить математическую теорию неустойчивости и довольно успешно решает эту задачу.

Основы общей теории устойчивости было заложены в конце прошлого века русским математиком А.М.Ляпуновым и французским ма­тематиком А.Пуанкаре. Наибольший резонанс эта теория получила в 70-х годах нашего века в работах французского математика Р.Тома. Не последнюю роль в широком распространении его идей сыграло введенное им в оборот название новой теории "теория катастроф". В настоящее время эта теория находит все большее применение в самых разнообразных областях человеческого знания.

РАСШИРЬ СВОЙ КРУГОЗОР

Время и обращение времени в точках бифуркации