Урок 24. Три признака подобия треугольников. Признак 3.

Три признака подобия треугольников

Третий признак подобия (по трём сторонам).

Третий признак подобия треугольников (по трём сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Записывают так:

Eсли AB:A 1 B 1 =BC:B 1 C 1 =AC:A 1 C 1 =k,

то △ABC∼△A 1 B 1 C 1 ​.

Дано: △ABC и △A 1 ​B 1 ​C 1 ​, причём AB:A 1 B 1 =BC:B 1 C 1 =AC:A 1 C 1 =k.

Доказать: △ABC∼△A 1 B 1 C 1 ​.

Идея доказательства: свести к уже доказанному второму признаку (две стороны и угол между ними).

Доказательство:

вспомогательный треугольник △AB 2 C 2 , равный △A 1 B 1 C 1 ​​ (по трём сторонам), но так, чтобы сторона AB 2 ​ лежала на AB, а AC 2 ​​ — на AC.

То есть AB 2 ​ =A 1 B 1 ​, AC 2 ​​ =A 1 C 1 ​, B 2 C 2 =B 1 C 1 ​.

Тогда AB:AB 2 ​=AB:A 1 B 1 =k и AC:AC 2 =AC:A 1 C 1 =k. Значит, стороны пропорциональны, а угол ∠A общий.

Следовательно, △ABC∼△AB 2 C 2 ​ по второму признаку подобия (две стороны пропорциональны, угол между ними равен).

Но △AB 2 C 2 =△A 1 B 1 C 1 ​, а значит, △ABC∼△A 1 B 1 C 1 .

Таким образом, третий признак доказан через второй.

Сравнение трёх признаков подобия

Признак

Что нужно проверить

1-й (по двум углам)

Когда удобно применять

Два угла одного треугольника равны двум углам другого

2-й (по двум сторонам и углу между ними)

Когда в задаче много углов, параллельных прямых, вертикальных/соответственных углов. Часто встречается в задачах с пересекающимися прямыми и трапециями.

Две стороны пропорциональны и угол между ними равен

3-й (по трём сторонам)

Когда даны длины двух сторон и угол, либо когда есть общий угол и пропорциональные отрезки (например, в «вложенных» треугольниках).

Все три пары сторон пропорциональны

Когда известны длины всех сторон обоих треугольников, а про углы ничего не сказано. Удобно для проверки подобия по числовым данным.

Как выбирать признак под задачу: алгоритм

• Посмотри, что дано.

• Даны углы? → пробуй 1‑й признак. Дан угол и две стороны к нему? → 2‑й признак. Даны все три стороны? → 3‑й признак.
• Даны углы? → пробуй 1‑й признак.
• Дан угол и две стороны к нему? → 2‑й признак.
• Даны все три стороны? → 3‑й признак.
• Проверь соответствие вершин. Стороны и углы должны быть именно соответствующими .
• Проверь пропорциональность или равенство строго по парам. Не смешивай стороны, лежащие напротив разных углов.

Задачи с решениями. Задача 1 (прямое применение третьего признака)

Стороны треугольника △PQR:

PQ=6 см, QR=9 см, PR=12 см.

Стороны треугольника △XYZ:

XY=4 см, YZ=6 см, XZ=8 см.

Подобны ли треугольники по третьему признаку? Если да, найди коэффициент подобия.

Задача 1. Решение:

• Сопоставим стороны по возрастанию:

• PQ:XY=6:4=1,5 QR:YZ=9:6=1,5 PR:XZ=12:8=1,5
• PQ:XY=6:4=1,5
• QR:YZ=9:6=1,5
• PR:XZ=12:8=1,5

Все отношения равны 1,5, значит, стороны пропорциональны.

• По третьему признаку △PQR∼△XYZ, коэффициент подобия k=1,5.

Ответ: треугольники подобны, k=1,5.

Задача 2 (выбор признака)

В △ABC стороны AB=5 см, BC=7 см, AC=9 см. В △DEF стороны DE=10 см, EF=14 см, DF=18 см.

• Какой признак подобия здесь уместно применить?
• Докажи подобие и найди коэффициент.

Задача 2. Решение:

• Даны все стороны обоих треугольников, про углы ничего не известно → подходит третий признак.
• Проверим отношения: DE:AB=10:5=2, EF:BC=14:7=2, DF:AC=18:9=2. Все отношения равны 2, значит, треугольники подобны по третьему признаку, k=2.

Ответ: третий признак, k=2.

Задача 3 (сравнение признаков и типичная ошибка)

У двух треугольников три стороны равны: 3,4,5 и 6,8,10. Одноклассник говорит: «Они подобны по первому признаку, ведь если стороны пропорциональны, то и углы равны».

• Верно ли его утверждение?
• Какой признак здесь корректно использовать?
• Найди коэффициент подобия и отношение периметров треугольников.

Задача 3. Решение:

• Утверждение некорректно: первый признак требует именно равенства двух углов как условия для вывода о подобии. То, что углы окажутся равными — следствие подобия, а не основание для его доказательства в такой формулировке.
• Здесь даны все стороны и их пропорциональность → корректно использовать третий признак подобия.
• Коэффициент подобия: k=6:3=8:4=10:5=2. Отношение периметров: Р 2 :Р 1 =k=2.

Ответ: утверждение неверно; корректно применить третий признак; k=2, отношение периметров равно 2.

Рефлексия

• Почему для доказательства подобия по третьему признаку недостаточно проверить пропорциональность только двух пар сторон — что может пойти не так, если третья пара сторон не будет пропорциональна с тем же коэффициентом?
• Как правильно установить соответствие между вершинами треугольников, чтобы корректно сравнить отношения сторон при применении третьего признака, — на что в первую очередь нужно обратить внимание?
• Придумай (или вспомни) ситуацию из реальной жизни, где можно было бы использовать третий признак подобия (например, при создании макета, масштабировании чертежа и т. п.), и кратко объясни, какие данные тебе понадобятся, чтобы подтвердить подобие именно этим признаком.

Домашнее задание:

• Даны два треугольника: у первого стороны равны 6 см, 8 см и 10 см, у второго — 9 см, 12 см и 15 см. Докажите, что треугольники подобны по третьему признаку подобия, и найдите коэффициент подобия.
• Треугольники ABC и MNK подобны. Стороны треугольника ABC: AB=12 см, BC=16 см, AC=20 см. В треугольнике MNK сторона MN=9 см. Найдите стороны NK и MK.
• В треугольнике PQR известно, что PQ=10 см, QR=14 см, PR=18 см, а в треугольнике XYZ XY=5 см, YZ=7 см, XZ=9 см. Установите правильное соответствие вершин и докажите подобие треугольников по третьему признаку, затем найдите отношение периметров этих треугольников.