Урок 21. Подобные треугольники

Подобные треугольники

Что такое подобные треугольники

Два треугольника называются подобными , если у них:

• углы соответственно равны ;
• соответствующие (сходственные) стороны пропорциональны (то есть стороны одного треугольника получаются из сторон другого умножением на одно и то же число).

Подобие — форма одинаковая, размеры разные.

Важные пояснения

Сходственные стороны — это стороны, лежащие напротив равных углов.

Например, если в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 ​ верно, что ∠A=∠A 1 ​, ∠B=∠B 1 ​, ∠C=∠C 1 , то сходственными будут пары сторон AB и A 1 B 1 ​, BC и B 1 C 1 ​, AC и A 1 C 1 ​.

Коэффициент подобия

Коэффициент подобия k — это число, которое показывает, во сколько раз один треугольник больше (или меньше) другого.

Например, если стороны одного треугольника в 2 раза длиннее соответствующих сторон другого, то k=2. Если в 2 раза короче, то k=0,5​.

Важно: коэффициент подобия всегда положительный.

Как правильно записывать подобие

Если треугольник ABC подобен треугольнику A 1 B 1 C 1 ​, пишут:

△ ABC≅△A 1 B 1 C 1 .

Порядок букв здесь очень важен : он показывает, какие вершины соответствуют друг другу. Из записи △ABC∼△A 1 B 1 C 1 сразу следует:

• ∠ A=∠A 1 ​, ∠B=∠B 1 ​, ∠C=∠C 1 ​;
• стороны относятся как AB:A 1 B 1 =BC:B 1 C 1 =AC:A 1 C 1 =k.

То есть сторона AB соответствует стороне A 1 B 1 ​, а не какой-нибудь другой. Если перепутать порядок букв, можно неправильно соотнести стороны и углы.

Как соотносить стороны и углы

Чтобы не запутаться, действуй по шагам:

• Найди равные углы. Это главный ориентир: напротив равных углов лежат соответствующие стороны.

Пусть ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F.

• Выпиши пары соответствующих вершин в нужном порядке.

A-D, B-E, C-F

• Составь пропорцию сторон , используя этот порядок.

AB:DE=BC:EF=AC:DF=k

Тогда: △ABC≅△DEF

Как «видеть» подобные треугольники на чертеже

Вот типичные ситуации, где почти наверняка есть подобные треугольники:

Параллельная прямая в треугольнике. Если в треугольнике провести прямую, параллельную одной из сторон, она отсечёт треугольник, подобный исходному.

Например, в △ABC провели MN∥AC — тогда △MBN≅△ABC.

Два треугольника с общей вершиной и параллельными основаниями.

Часто бывает в трапециях: диагонали пересекаются, и треугольники у верхнего и нижнего оснований оказываются подобными.

Дано: ABCD - трапеция, диагонали АС и BD пересекаются в точке О

Тогда △AOD≅△BOC

Прямоугольный треугольник и высота к гипотенузе.

Если из вершины прямого угла опустить высоту на гипотенузу, получатся два маленьких треугольника, каждый из которых подобен большому и друг другу.

Дано: △ABC - прямоугольный, ∠C=90 о . СН - высота.

Тогда △ACH≅△BCH≅△ABC

Вертикальные углы и параллельные прямые.

Когда две прямые пересекаются, а потом ещё две параллельные линии их пересекают, часто образуются пары подобных треугольников.

Пример:

Прямые АВ и CD пересекаются в точке О,

Прямые AD и ВС параллельны.

Тогда △AOD≅△BOC

Практический приём: если видишь на чертеже параллельные линии или одинаковые углы, сразу проверяй, не получится ли пропорция между сторонами.

Пример задачи на распознавание

В треугольнике ABC провели отрезок MN так, что M лежит на AB, N на BC, и MN∥AC. Докажи, что △MBN≅△ABC, и запиши отношение сторон.

Решение.

• ∠ B — общий для обоих треугольников.
• Так как MN∥AC, то ∠BMN=∠BAC (соответственные углы при параллельных и секущей AB).
• ∠ BNM=∠BCA (соответственные углы при параллельных и секущей BC).
• Значит, △MBN и △ABC подобны по трем углам.

Записываем подобие, соблюдая порядок вершин: △MBN≅△ABC.

• Пропорция сторон: MB:AB=BN:BC=MN:AC=k

На что обращать внимание, чтобы не ошибаться

• Порядок букв. Всегда проверяй, какие углы равны — именно они задают соответствие вершин.
• Не путай «пропорциональность» с «равенством». У подобных треугольников стороны не равны, а пропорциональны. Равные треугольники — это частный случай подобных с k=1.
• Смотри на углы. Если углы не совпадают, треугольники не подобны, даже если какие-то стороны кажутся «похожими» по длине.

Рефлексия

Объясни своими словами, в чём разница между равными и подобными треугольниками.

Представь два подобных треугольника, у которых коэффициент подобия k=3. Если сторона меньшего треугольника равна 5 см, чему равна соответствующая сторона большего?

Если периметр меньшего равен 12 см — чему равен периметр большего?

Одноклассник говорит: „У этих треугольников все углы равны, значит, они точно подобные“. Верно ли это утверждение? Объясни, чего ещё не хватает в его рассуждении по определению.

Домашнее задание

• Даны два треугольника: △ABC и △A 1 B 1 C 1 . Известно, что ∠A=∠A 1 ​, ∠B=∠B 1 ​, ∠C=∠C 1 ​. Стороны первого треугольника: AB=6 см, BC=9 см, AC=12 см. Соответствующие стороны второго треугольника: A 1 B 1 =4 см, B 1 C 1 =6 см, A 1 C 1 =8 см. Являются ли эти треугольники подобными?
• Треугольники △KLM и △K 1 L 1 M 1 ​ подобны с коэффициентом подобия k=2,5 (то есть стороны △KLM в 2,5 раза больше соответствующих сторон △K 1 L 1 M 1 ​). В треугольнике △K 1 L 1 M 1 ​ стороны равны: K 1 L 1 =4 см, L 1 M 1 =5 см, K 1 M 1 =6 см. Также известно, что углы у них соответственно равны. Найди периметр △KLM.
• У двух треугольников все соответствующие углы равны. У первого треугольника стороны: 3 см, 4 см, 5 см. У второго треугольника стороны: 6 см, 8 см, 11 см. Являются ли эти треугольники подобными?