Урок 20. Центр масс треугольника

Центр масс треугольника

Центр масс в треугольнике

Представь, что у тебя есть треугольная пластинка из картона. Ты хочешь поставить её на кончик карандаша так, чтобы она не упала, а спокойно держалась и не качалась.

Есть только одна такая точка — её и называют центром масс (ещё говорят «центр тяжести»).

Сегодня узнаем, как эту точку найти и какие у неё интересные свойства.

Что такое центр масс треугольника

Центр масс треугольника — это такая точка внутри треугольника, где он будет идеально уравновешен. Если сделать треугольник из однородного (одинакового по толщине и плотности) материала и поставить его на остриё ровно в этой точке, он не упадёт.

Аналогия: Как сбалансировать линейку на пальце. Линейка балансирует ровно посередине. У треугольника «середина» устроена хитрее, потому что у него три угла, а не два конца.

В геометрии центр масс треугольника — это точка пересечения медиан .

Вспомним, что такое медиана

Медиана треугольника — это отрезок, который идёт от вершины к середине противоположной стороны.

Например, в треугольнике ABC:

• из вершины A проводим линию в середину стороны BC — это медиана AM 1 ;
• из B в середину AC — медиана BM 2 ;
• из C в середину AB — медиана CM 3 ;.

Где расположен центр масс треугольника

Все три медианы пересекаются в одной точке O .

Эта точка и есть центр масс.

Главное свойство центра масс:

Центр масс делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины

Центр масс (точка пересечения медиан) делит каждую медиану на две части так, что:

• от вершины до центра масс — это 2 части;
• от центра масс до стороны — это 1 часть.

То есть в отношении 2:1, считая от вершины.

Формула: если медиана равна m, то:

от вершины до центра=⅔ m,

от центра до стороны=⅓ m

Как найти центр масс на практике: Способ 1: построить две медианы и найти их пересечение

• Найди середину одной стороны треугольника (например, измерь линейкой и поставь точку посередине).
• Проведи медиану из противоположной вершины к этой середине.
• То же самое сделай для второй стороны.
• Точка, где эти две медианы пересекутся, — это и есть центр масс.

Третью медиану можно не строить: она всё равно пройдёт через эту же точку.

Способ 2: эксперимент с картонным треугольником

• Вырежи треугольник из плотного картона.
• Найди точку пересечения медиан (или просто попробуй разные точки).
• Поставь треугольник этой точкой на остриё карандаша. Если точка выбрана правильно, треугольник будет держаться и не падать.

Почему это работает: центр масс — это именно та точка, где «уравновешиваются» все части треугольника.

Важное уточнение: центр масс и площади

Центр масс не просто «точка равновесия». Он ещё и связан с площадями:

три медианы делят треугольник на 6 маленьких треугольников одинаковой площади .

Центр масс и площади

Если соединить вершины с центром масс, получатся три треугольника, у которых площади тоже равны.

Это свойство пригодится позже, когда будешь решать более сложные задачи.

Задача 1:

Медиана равна 18 см.

Найди длины частей, на которые её делит центр масс.

Решение: 18:3=6;

От вершины до центра масс — АО= 2⋅6=12 см,

От центра масс до стороны — ОМ 1 =1⋅6=6 см.

Задача 2:

Отрезок от центра масс до стороны равен 5 см. Чему равна медиана и чему равно расстояние от вершины до центра? Решение:

⅓ m=5 см, значит вся медиана m=5⋅3=15 см;

От вершины до центра 15−5=10 см или 15⋅⅔ =10 см

Задача 3:

Площадь треугольника АВС=12 см.

Точка О - центр масс треугольника АВС.

Найти площадь треугольника АОВ.

S ∆AOB =⅓ S ∆ABC =⅓⋅12=4 см

Вопросы для рефлексии:

• Если соединить центр масс со всеми тремя вершинами, треугольник разделится на три меньших треугольника. Какими свойствами обладают эти три треугольника? Как вы думаете, сохранится ли центр масс всей фигуры, если «вырезать» один из этих трёх треугольников? Почему?
• Всегда ли центр масс находится внутри треугольника?
• Как изменится положение центра масс, если треугольник станет тупоугольным?