Уравнения с модулем

не имеют решений

Пример:

Решим уравнение

∣8x∣= –16∣8x∣= –16

Модуль числа не может быть отрицательным

Ответ: ∅∅

Уравнения вида ∣f(x)∣=g(x)∣f(x)∣=g(x)

1. Записываем ОДЗ: g(x) ≥ 0g(x) ≥ 0.

2. Решаем по алгоритму для уравнений вида ∣f(x)∣=a, a0∣f(x)∣=a, a0.

Пример:

Решим уравнение

∣8x∣= 14+x∣8x∣= 14+x

1. Запишем ОДЗ:

14+x≥014+x≥0

2. Решим уравнение вторым аналитическим способом:

8x=08x=0

x=0 − критическая точкаx=0 − критическая точка

Решим уравнение при условии, что при х меньше критической точки – модуль раскрывается с противоположными знаками, при х больше или равно критической точки – модуль раскрывается с теми же знаками:

[{x≥08x=14+x {x⇒[{x≥07x=14 {x⇒[x=2x= –149 ​{xx=14+x​ {x≥08x=14+x​ ​ ⇒​{xx= 14​ {x≥07x=14​ ​ ⇒[x= –914​x=2​ 

Ответ: 2; −149−914​.

Уравнения с несколькими модулями

1. Найти значения переменной, при которых каждый из модулей обращается в ноль.

2. Отметить эти точки на числовой прямой.

3. Рассмотреть уравнение на каждом из промежутков, раскрывая модули с соответствующим знаком.

Пример:

Решим уравнение:

∣8x∣+∣14+x∣=21∣8x∣+∣14+x∣=21

1. Найдем критические точки уравнения:

x=0x = –14x=0x = –14

2. Отметим эти точки на числовой прямой:

{x≤ –14∣14+x∣= –14 – x  и {x –14∣14+x∣=14+x {x≤ –14∣14+x∣= –14 – x​  и {x –14∣14+x∣=14+x​ 

{x∣8x∣= –8x  и {x≥0∣8x∣=8x {x0∣8x∣= –8x​  и {x≥0∣8x∣=8x​ 

3. Если объединим Условия из пункта 2, получим общую числовую прямую с такими промежутками:

- На синем промежутке раскроем оба модуля с противоположными знаками переменной.

- На зеленом промежутке раскроем модуль ∣8x∣∣8x∣ с противоположными знаками, а модуль ∣14+x∣∣14+x∣ без изменений.

- На оранжевом промежутке раскроем оба модуля без изменений.

Обозначения промежутков запишем неравенствами в системе. Получим:

[{x≤ –14–8x  –14 – x=21 {–14​{x≤ –14–8x  –14 – x=21​ {–14xx+14+x=21​ {x≥08x+14+x=21​ ​ 

4. В ответ записываем решение получившейся системы:

[{x≤ –14–8x  –14 – x=21 {–14⇒[{x≤ –14–9x =35 {–14⇒[{x≤ –14x = –359 {–14⇒[∅x= –1x=79 ​{x≤ –14–8x  –14 – x=21​ {–14xx+14+x=21​ {x≥08x+14+x=21​ ​ ⇒​{x≤ –14–9x =35​ {–14xx=7​ {x≥09x=7​ ​ ⇒​{x≤ –14x = –935​​ {–14xx= –1​ {x≥0x=97​​ ​ ⇒​∅x= –1x=97​​ 

Ответ: –1; 7997​.

Уравнения вида ∣f(x)∣=∣g(x)∣∣f(x)∣=∣g(x)∣

равносильны уравнениям (f(x))2=(g(x))2(f(x))2​=(g(x))2​

1. Возводим обе части уравнения в квадрат.

2. Решаем полученное уравнение.

3. Уравнения с вложенными модулями решаем последовательным раскрытием модулей.

Пример:

0=∣x2+5x∣−16+x0=​x2+5x​−16+x

1. Если перенесем модуль в левую сторону, то получим уравнение вида ∣f(x)∣=g(x)∣f(x)∣=g(x)

∣x2+5x∣=16−x​x2+5x​=16−x

2. Определяем ОДЗ: 16−x≥0 ⇒x≤1616−x≥0 ⇒x≤16

3. Решаем по алгоритму для уравнений вида ∣f(x)∣=a, a0∣f(x)∣=a, a0.

[    x2+5x=16−x   x2+5x=x−16  ​    x2+5x=16−x   x2+5x=x−16 ​ 

[    x2+6x−16=0   x2+4x+16=0      ​    x2+6x−16=0   x2+4x+16=0 ​        [  { x1⋅x2= −16  x1+x2=−6   {  x1⋅x2=16  x1+x2=−4      ​  ⎩⎨⎧​ x1​⋅x2​= −16  x1​+x2​=−6 ​  ⎩⎨⎧​  x1​⋅x2​=16  x1​+x2​=−4 ​  ​    [  { x1=−8   x2=2   Решений нет    ​  ⎩⎨⎧​ x1​=−8   x2​=2 ​  Решений нет ​ 

4. Если в совокупности одна система не имеет корней, то решением будут системы с решениями.

x1=−8;x2=2x1​=−8;x2​=2

5. Проверяем корни на соответствие ОДЗ. Оба корня подходят.

Ответ: x1=−8;x2=2x1​=−8;x2​=2

Уравнения с модулем

(Подготовимся к ЕГЭ)

Вспомним, как раскрыть модуль: модуль положительного числа равен самому этому числу, а модуль отрицательного числа — противоположному, то есть  при  ,  при . В геометрическом смысле модуль числа — это расстояние на координатной прямой от этого числа до нуля.

1. Простейшее уравнение с модулем , где с — некоторое число

При  с уравнение не имеет решений, так как модуль не может быть равен отрицательному числу.

При  с=0 единственное решение .

При  с0 уравнение имеет два решения:  х=с и  х=-с.

Пример

Уравнение ∣х∣=6 имеет два корня:  х=6 и х=-6 .

Уравнение ∣х∣=0  имеет единственное решение х=0

Уравнение ∣х∣=-6  корней не имеет.

2. Уравнение вида ∣кх+в∣=с

Если с, то уравнение не имеет решений, так как модуль числа не может принимать отрицательные значения.

Если с=0, то уравнение принимает вид кх+в=0. Оно имеет единственный корень х=-в/к.

Если же с0, то выражение под знаком модуля может принимать значения  и . Значит, возможны два случая:

 кх+в=с, то есть х=(с-в)/к

кх+в=-с, , то есть х=(-с-в)/к.

Пример

Решите уравнение ! ∣3х+5 ∣=4

Возможно два случая

Ответ:-3; -1/3

3. Уравнение вида ∣ах+в∣=сх+d

Этот случай похож на предыдущий, но надо убедиться, что сх+ d≥0.

Первый способ. Найдём значение х, при которых сх+в≥0. Рассмотрим два случая:  ах+в =сх+ d  или  ах+в=-(сх+ d).

Второй способ. Раскроем модуль по определению: 

 ах+в =сх+ d  при  ах+в≥0 или   ах+в =-(сх+ d)  при  ах+в  .

Пример

Решите уравнение ∣х-3∣=2х+1.

Решение

Первый способ. Необходимо, чтобы выполнялось условие 2х+1≥0, т.е. х≥-0,5

1. х-3=2х+1.

х=-4 не удовлетворяет условию х≥-0,5

1. х-3=-(2х+1)

х-3=-2х-1

3х= 2

х=2/3

Второй способ.

1)если х-3≥0, то х≥3(ограничение),

х-3=2х+1

х=-4- не подходит

2) если х-3≤0, то х3

-х+3=2х+1.

-3х=-2

Х=2/3 - удовлетворяет условию х3

Все уравнения с модулем можно решать, раскрывая модуль по определению, но иногда это приводит к необходимости рассматривать много случаев. 

4. Уравнение вида ∣ах+в∣=∣сх+d∣

По смыслу модуля выражения  ах+в и  сх+d либо равны, либо противоположны по знаку, то есть достаточно рассмотреть два случая:   ах+в=сх+d или 

ах+в =-(сх+d)

Можно также заметить, что равенство модулей выражений равносильно равенству квадратов этих выражений, поэтому ∣ах+в∣=∣сх+d∣ ⇒

(ах+в)²-(сх+d)² =0

что приводит к тем же двум случаям:  

(ах+в) -(сх+d) =0 или (ах+в) +(сх+d) =0

Пример

Решите уравнение ∣2х-5∣=∣6х+1∣. 

Решение

5. Уравнения с несколькими модулями

Алгоритм решения уравнений с модулями:

1. Найти в уравнении все выражения, содержащиеся под знаком модуля.

2. Найти, при каких значениях переменной они обращаются в нуль.

3. Разбить найденными значениями числовую прямую на непересекающиеся промежутки. 

4. Определить для каждого числового промежутка, чему равно значение каждого модуля: самому выражению, содержащемуся под знаком модуля, или противоположному ему.

5. Для каждого числового промежутка записать и решить исходное уравнение без знаков модуля. 

6. Оставить только те решения, которые соответствуют числовому промежутку, и записать их в ответе.

Пример

Решите уравнение: ∣2х-6∣-∣х+2∣=5

Решение

Находим при каких значениях переменной они обращаются в нуль

2х-6=0, х=3; х+2=0, х=-2

т.-2 и 3 разбивают ось на три непересекающихся промежутков. Решим каждый из них

В конце проверяем на промежутках. Только х=-1/3находиться в х⸦[-2;3)

Ответ:-1/3

НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ

Если под модулем стоит нелинейная функция, методы решения уравнений схожи, но имеют свои особенности.

1. Уравнение вида ∣f(x)∣=с

Первый способ. Можно раскрыть модуль по определению: если f(x)∣ ≥0, то  f(x) =с, иначе  f(x) =-с. Важно учитывать, что у функции  может быть несколько нулей, поэтому сначала нужно найти промежутки, где функция положительна и где отрицательна. 

Второй способ. Чтобы не решать неравенство f(x)∣ ≥0, достаточно заметить, что ∣f(x)∣=с тогда и только тогда, когда с≥0 и   f(x) =с  или f(x) =-с  

Если с0, то уравнение не имеет решений, так как модуль числа не может принимать отрицательные значения.

Если с=0, то уравнение принимает вид f(x) =0. 

Если же с≥0, то нужно рассмотреть два случая:  f(x) =с, или f(x) =-с. При этом знак функции  можно не проверять.

#####

Пример

Решите уравнение . ∣х² -50∣=40

Решение

2. Уравнение вида ∣f(x)∣= ∣g(x)∣

Если модуль равен функции, аналогично можно действовать двумя способами: раскрыть модуль по определению, то есть найти промежутки знакопостоянства  f(x)∣и рассмотреть случаи, или же проверить, чтобы выполнялось , и ∣f(x)∣= ∣g(x)∣рассмотреть случаи  f(x)= g(x)иf(x)= -g(x) . Выбор метода зависит от вида функций  и . 

Заметим, что можно не решать неравенства, а проверить полученные корни подстановкой. 

Пример

Решите уравнение .

Решение

Пример

Решите уравнение .

Решение

3. Уравнение вида 

В случае, когда модуль одной функции равен модулю другой функции, раскрывать оба модуля по определению долго. Достаточно рассмотреть случаи  и .

Пример

Решите уравнение .

Решение

4. Уравнения с вложенными модулями

Если один модуль находится внутри другого, тогда нужно последовательно раскрыть модули, начиная с внешнего, пользуясь случаями, рассмотренными выше. 

Пример

Решите уравнение .

Решение

Пример

Решите уравнение .

Решение

Рассмотрим ещё несколько идей, которые могут пригодиться для решения уравнений с модулем.

Геометрический смысл модуля

Модуль числа — это расстояние на числовой прямой от этого числа до нуля. А расстояние от числа  до числа  равно .

Эти соображения можно использовать, например, для решения уравнения . Заметим, что выражение  равно сумме расстояний от точки с координатой  до  и до . Если , эта сумма как раз равна . Иначе эта сумма больше , так как одно из расстояний содержит отрезок , а другое больше нуля. Поэтому решением этого уравнения будет .

Пример

Решите уравнение .

Решение

Сумма модулей

Модуль принимает только неотрицательные значения, поэтому, если сумма нескольких модулей равна , каждый из них равен .

Пример

Решите уравнение 

Решение

Модуль в уравнениях с параметром

Рассмотрим несколько примеров уравнений с параметром.

Пример

При каких значениях параметра  уравнение  имеет решения?

Решение

Пример

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение   имеет ровно два различных корня.

Решение

Пример

Найдите  значения параметра  при которых уравнение  имеет хотя бы один корень.