Теоретический материал по курсу 7 класса

Выполнила Заводчикова Наталия Владимировна

ЧУ «СОШ «Ор Авнер», город Нижний Новгород

Учитель математики

1 квалификационная категория

Алгебра

7 класс

1. Алгебраические выражения.

2. Уравнения с одним неизвестным.

3. Свойства степеней.

4. Одночлены и многочлены.

5. Разложение многочленов на множители.

6. Алгебраические дроби.

7. Линейная функция и её график.

Системы двух уравнений с двумя неизвестными

Алгебраические выражения. 7кл.А.01

Числовое выражение – запись, состоящая из чисел, соединённых, знаками действий.

1,5 · ( - 8) - 9 ÷ 0,2 - числовое выражение.

Алгебраическое выражение – выражение, состоящее из чисел и букв, соединённых знаками действий.

3 ( m + 2n ) ; 4a – 25аb – 3 - aлгебраическое выражение.

Числовое значение алгебраического выражения – число, полученное в результате вычислений после замены в этом выражении букв числами.

• Найти значение выражения

4a + 3ab -6

Если a=1 , b= 3, тогда 4 · 1 + 3 · 1 · 3 – 6 =7

Если a=-3 , b= 5, тогда 4 ·(-3) + 3· (-3)· 5 – 6 = -63.

Алгебраическая сумма – запись, состоящая из нескольких алгебраических выражений, соединённых знаками « + » и « - ».

Правила раскрытия скобок

• Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраическая сумма, заключённая в скобки, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы.

a +( b – c + d ) = a + b – c + d

17 + ( 8 - 15 + 21 ) = 17 + 8 – 15 + 21

• Если из алгебраического выражения вычитается алгебраическая сумма, заключённая в скобки, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный.

a - ( b – c + d ) = a - b + c – d

17 – ( 8 - 15 + 21 ) = 17 – 8 + 15 – 21

Уравнение с одним неизвестным 7 кл.А.02

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением.

Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа от знака равенства, называется правой частью уравнения.

Каждое слагаемое левой или правой части уравнения называется членом уравнения.

Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.

Уравнение может иметь бесконечно много корней.

Уравнение может и не иметь корней.

5 х -24 = 2х- 9

5х-2х=24-9

3х=15│÷3

х=5

Ответ: х=5

• Любой член уравнения можно перенести из одно части в другую, изменив его знак на противоположный.

• Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Алгоритм решения уравнения:

1. Раскрыть скобки, привести подобные;

2. Перенести неизвестные влево, известные вправо, при этом меняя у переносимых слагаемых на противоположный;

3. Привести подобные;

4. Разделить обе части уравнения на коэффициент при x

5. Найти x и записать ответ

Алгоритм решения задач с помощью уравнения:

1. Составить математическую модель задачи.

2. Решить полученное уравнение.

3. Записать ответ на вопрос, поставленный в задаче

Свойства степеней 7 кл. А.03

Степенью числа а с натуральным показателем n , большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а :

_{ }=а·а·а·а·…·а _{ }

n раз

_{ } а – основание степени, n-показатель степени

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели складываются.

1. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели вычитаются.

1. При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели степеней перемножаются.

_{ })^m=_{ }

1. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель.

1. При возведении в степень дроби в эту степень возводится числитель и знаменатель.

_{ }, где b_{ }

Одночлены и многочлены 7 кл. А.04

Произведение числовых и буквенных множителей называют одночленом.

a²bc⁶, (-4)a3ab, 2,5x³у – одночлены.

Одночлены, которые содержат только один числовой множитель, стоящий на первом месте, и степени с различными буквенными основаниями, называют одночленами стандартного вида.

2,7a⁵bc, -7ху³ - одночленами стандартного вида.

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.

Приведением подобных слагаемых называют упрощение многочлена, при котором алгебраическая сумма подобных одночленов заменяется одним одночленом.

Результаты действий с одночленами и многочленами

Разложение многочленов на множители 7 кл. А.05

Если все члены многочлена содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за скобки.

Чтобы разложить многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки, нужно:

• Найти общий множитель.

• Вынести его за скобки.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:

• Объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена.

• Вынести этот общий множитель за скобки

Формулы сокращённого умножения

1. Формула разность квадратов

( a – b )(a + b ) = a² – b²

1. Формула квадрата суммы

(a + b )² = a² + 2ab + b²

1. Формула квадрата разности

(a - b )² = a² - 2ab + b²

1. Формула куба суммы

( a + b)³=a³ + 3 a² b + 3 a b² + b³

1. Формула куба разности

( a - b)³=a³ - 3 a² b + 3 a b² - b³

1. Формула суммы кубов

a³ + b³ = ( a + b )(a² – ab + b² )

1. Формула разности кубов

a³ - b³ = ( a - b )(a² + ab + b² )

Алгебраические дроби 7 кл.А.06

Выражение _{ } называют алгебраической дробью.

Чтобы сократить алгебраическую дробь, нужно числитель и знаменатель разделить на их общий множитель.

Для приведения алгебраических дробей к общему знаменателю нужно:

• Найти общий знаменатель данных дробей.

• Для каждой дроби найти дополнительный множитель .

• Умножить числитель каждой дроби на её дополнительный множитель.

• Записать каждую дробь с найденным числителем и общим знаменателем.

Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями нужно:

• Найти общий знаменатель дробей.

• Привести дроби к общему знаменателю.

• Сложить или вычесть полученные дроби.

• Упростить результат, если возможно.

Умножение и деление _{ }алгебраических дробей выполняется по тем же правилам, что и умножение, и деление обыкновенных дробей:

_{   }

Линейная функция и её график 7 кл.А.07

у

ось ОХ – ось абсцисс Прямоуголь-

0 х ось ОУ – ось ординат ная система

1. О – начало координат координат

О1 –единичный отрезок

Линейной функцией называется функция вида у = kx + b, где k и b – заданные числа.

Графиком линейной функции у = kx + b является прямая.

Для построения графика функции у = kx + b достаточно построить две точки этого графика.

у = 2 х + 3 у = 2 х

у

у = 2 х + 3

у = 2 х

1. х

График функции у = kx + b получается сдвигом графика функции у = kx на b единиц вдоль оси ординат.

Графиками функций у = kx и у = kx + b являются параллельные прямые.

Системы двух уравнений 7кл.А.08

с двумя неизвестными

х + у = 10

х – у = 4 - система двух уравнений с двумя неизвестными

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел х и у , которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное равенство.

Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить , что их нет.

Алгоритм решения системы уравнений способом подстановки:

1. из одного уравнения системы ( всё равно из какой) выразить одно неизвестное через другое, например у через х.

2. полученное выражение подставить в другое уравнение системы, получится одно уравнение с одним неизвестным х.

3. решить это уравнение, найти значение х.

4. подставив найденное значение х в выражение для у, найти значение у.

5. записать ответ

Алгоритм решения системы уравнений способом алгебраического сложения:

1. уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.

2. складывая или вычитая полученные уравнения, найти одно неизвестное.

3. подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.

Алгоритм решения системы уравнений графическим способом:

• Построить графики каждого из уравнений системы.

• Найти координаты точки пересечения построенных прямых (если они пересекаются)

На плоскости возможны три случая взаимного расположения двух прямых- графиков уравнений системы.

• Прямые пересекаются ,т .е. имеют одну общую точку. Система уравнений имеет единственное решение.

• Прямые параллельны, т.е.не имеют общих точек. Система уравнений не имеет решений.

• Прямые совпадают. Система уравнений имеет бесконечно много решений.