Теорема Пифагора

Теорема Пифагора

Урок геометрии в 8 классе

Афоньшин Сергей Алексеевич,

учитель математики

МОУ «Средняя школа с. Выползово» МО «Сурский район»

Цели урока

• Сформулировать и доказать теорему Пифагора

• Показать практическую значимость теоремы

• Научиться применять теорему при решении задач

• Развивать умение выдвигать гипотезу и проверять её

• Воспитывать интерес к истории математики

Вспомним главное

• Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором есть прямой угол (90°)

• Стороны, образующие прямой угол, — катеты (a и b)

• Сторона, лежащая против прямого угла, — гипотенуза (c)

• Гипотенуза всегда длиннее каждого из катетов

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°

Задача древних строителей

Так размечали прямые углы ещё в Древнем Египте

• Берём верёвку и завязываем на ней 12 узлов на равных расстояниях

• Растягиваем верёвку в треугольник со сторонами 3, 4 и 5 отрезков

• Угол между сторонами 3 и 4 получается прямым

• Проверьте: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²

• Почему это работает всегда, а не только для 3, 4 и 5?

Гипотеза

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен

сумме квадратов катетов

c² = a² + b²

Доказательство через площади

• Строим квадрат со стороной (a + b)

• Внутри размещаем четыре равных прямоугольных треугольника

• Оставшаяся фигура в центре — квадрат со стороной c

• Площадь большого квадрата: (a + b)² = a² + 2ab + b²

• С другой стороны: 4 · ½ab + c² = 2ab + c²

• Приравниваем: a² + 2ab + b² = 2ab + c² → a² + b² = c²

Немного истории

• Пифагор Самосский (около 570–495 гг. до н. э.) — древнегреческий философ и математик

• Теорема была известна задолго до Пифагора: её применяли в Вавилоне и Египте

• Пифагор и его школа дали первое строгое доказательство

• В Средние века теорему называли «мостом ослов» — она открывала путь в геометрию

• Сегодня известно более 350 различных доказательств теоремы

Пифагоровы тройки

Натуральные числа, для которых a² + b² = c²

a

b

3

4

5

c

12

5

8

13

15

7

24

17

25

Где это нужно в жизни

• Строительство: проверка прямого угла, расчёт диагонали фундамента

• Лестницы и пандусы: расчёт длины при известной высоте

• Навигация: кратчайшее расстояние между точками

• Экраны и мониторы: диагональ по ширине и высоте

• Спорт: разметка площадки, расчёт траектории

Решите сами

• Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу.

• Гипотенуза равна 13 см, один из катетов — 5 см. Найдите второй катет.

• Диагональ прямоугольного участка 25 м, одна сторона 24 м. Найдите другую сторону.

• Лестница длиной 5 м приставлена к стене так, что её нижний конец стоит в 3 м от стены. На какой высоте верхний конец?

Подведём итоги

• Теорема Пифагора: c² = a² + b², где c — гипотенуза

• Она связывает стороны прямоугольного треугольника

• Обратная теорема позволяет доказать, что треугольник прямоугольный

• Теорема применяется в строительстве, технике, навигации

• Рефлексия: что было самым трудным? где пригодится?