Теорема Пифагора

α + γ = β . Найти β .

α = 3β . Найти β .

х

х

180 0

х + х = 180 0

90 0

135 0

45 0

β

х

3х

γ

α

α

β

Найти площадь трапеции АВСD .

АD + ВС

2

9

В

· СН

С

S АВСD =

17 + 9

45 0

2

S АВСD =

· 4

4

S АВСD = 52

9

45 0

А

D

4

4

Н

17

Четырехугольник, у которого диагонали пересекаются под прямым углом, имеет площадь 250 см 2 . Найдите его диагонали, если известно, что одна больше другой в 5 раз .

S АВСD = ½ d 1 · d 2

250 = ½ х · 5х

10

х

50

250 = 2,5х 2

5х

х 2 = 250 : 2,5

х 2 = 100

х = 10

см - одна диагональ

п.54.Теорема Пифагора

Древнегреческий философ и математик

(580 - 500 г. до н.э.)

Пифагор — это не имя, а прозвище, данное ему за то, что он высказывал истину так же постоянно, как дельфийский оракул (Пифагор означает «убеждающий речью». Этимология связывает наречение с культом Апполона Пифийского).

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c 2 = а 2 + b 2

2 ab + c 2 = а 2 + 2 ab + b 2

c

b

b

b

c 2 = а 2 + 2ab + b 2 - 2ab

c 2 = а 2 + b 2

a

a

a

Еще один алгебраический способ доказательства теоремы.

Доказательство Бхаскара (XII в.)

b

c

b

c

b-a

a

a

a

(b - a) 2 + 4 · ½ ab = c 2

b 2 - 2ab + а 2 + 2 ab = c 2

b 2 + а 2 = c 2

Для прямоугольных треугольников составить равенства, выражающие зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, по теореме Пифагора.

АВСD – ромб

В

ВС 2 = ВО 2 + ОС 2

АВ 2 =АО 2 + ОВ 2

О

С

А

DC 2 = DO 2 + OC 2

АD 2 = DO 2 + OA 2

D

Для прямоугольных треугольников составить равенства, выражающие зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, по теореме Пифагора.

С

СК 2 + МК 2 = МС 2

МР 2 + РС 2 = МС 2

К

Р

КВ 2 + КМ 2 = МВ 2

А

В

М

АР 2 + РМ 2 = МА 2

Для прямоугольного треугольника составить равенства, выражающие зависимость между сторонами прямоугольного треугольника.

Выразить гипотенузу АВ

С

АВ 2 = АС 2 + ВС 2

b

а

с

А

В

Выразить катет ВС

Выразить катет АС

АС 2 = АВ 2 – СВ 2

ВС 2 = АВ 2 – СА 2

Блиц-опрос

Найдите х

х

D

В

4

3

О

А

С

Блиц-опрос

Найдите х

В

х

3см

А

С

D

4см

Найдите х

А

5 дм

5 дм

х

С

В

3 дм

М

a II b

a

Найдите х

А

5 дм

4 дм

b

С

х

В

Найдите х

АС = 6 см, ВD = 8 см.

В

х

4

О

С

А

3

D

Существует бесчисленное множество целых положительных чисел, удовлетворяющих соотношению

с 2 = а 2 + b 2

Они называются п и ф а г о р о в ы м и ч и с л а м и

Вот несколько троек пифагоровых чисел.

6 2 + 8 2 = 10 2

12 2 + 16 2 = 20 2

3 2 + 4 2 = 5 2

11 2 + 60 2 = 61 2

9 2 + 12 2 = 15 2

5 2 + 12 2 = 13 2

7 2 + 24 2 = 25 2

13 2 + 84 2 = 85 2

9 2 + 40 2 = 41 2

Египетский треугольник

Треугольник со сторонами

3, 4 и 5 часто называют египетским треугольником

т. к. он был известен еще древним египтянам.

Построение прямого угла на местности

Для построения прямоугольной площадки для игры в футбол следовало бы взять угольник и циркуль таких размеров.

С

А

В

С древних времен известен очень простой способ построения прямых углов на местности.

С

А

В

Этот способ применялся тысячелетия

назад строителями египетских пирамид.

Домашнее задание:

п. 54, в. 8, № 483 (в),

484 (б, г), 487

Найдите х

С

45 0

х

135 0

45 0

D

6 дм

F

6 дм

E

Найдите х

В

х

1м

А

1м

С

D

Найдите х

В

20 0

a

b

70 0

А

х

С

АBCD - прямоугольник

Найдите х

4 см

A

D

х

6 см

6 см

B

C

АBCD - параллелограмм

Найдите х

В

С

45 0

45 0

х

А

D

H

4

4

АBCD - трапеция

Найдите х

В

С

30 0

2см

х

А

D

1см

H

ABCD – прямоугольная трапеция.

Найдите S ABCD

В

3

С

3

10

6

H

D

А

8

S ABCD = (3 + 11) * 6

S ABCD = (ВС + AD) * ВН

АВС – прямоугольный треугольник, О – середина ВС.

Найдите S ABО

В

4

1,5

3

О

А

5

С

п.55. Теорема, обратная

теореме Пифагора

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

с 2 = а 2 + b 2 , то аb = 90 0

с

b

а

Определить углы треугольника со сторонами 1, , 2

2 – большая сторона

90 0

1

30 0

60 0

2

Треугольник – прямоугольный ,

гипотенуза 2 , катеты 1 и

Углы треугольника 90 0 , 60 0 , 30 0 , т.к. катет, равный 1 , в два раза больше гипотенузы 2 .

Определить углы треугольника со сторонами 1, 1,

90 0

– большая сторона

1

1

45 0

45 0

Треугольник – прямоугольный,

гипотенуза , катеты 1 и 1.

Углы треугольника 90 0 , 45 0 , 45 0 , т.к. треугольник равнобедренный.

Определить углы треугольника со сторонами 10, 6, 3

Треугольник со сторонами 3, 6, 10 не существует,

т. к. не выполняется

неравенство треугольника

10

6

3

10

Докажите, что треугольник ВHD – прямоугольный.

Найдите S ABCD

В

С

5

4

5 2 = 4 2 + 3 2

(Верно)

H

А

3

D

5

S ABCD =AD · BH

Домашнее задание:

п. 54, 55, № 492,

498 (г, д, е, ж), 524

Повторение

Найти S ABCD

В

4

2

30 0

С

А

4

45 0

D

+

Меньшая высота параллелограмма равна 4 см и делит большую сторону на отрезки, каждый из которых равен по

3 см. Найдите большую высоту параллелограмма.

В

С

S ABCD =AD*BH

?

S ABCD = 24

5

5

4

Р

S ABCD =СD*BР

24 = 5 * ВР

H

D

А

3

3

ВР = 4,8

Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а гипотенуза равна 15 см. Найдите периметр треугольника.

(3х) 2 + (4х) 2 = 15 2

С

9х 2 + 16х 2 = 225

9

12

3х

4х

25х 2 = 225

х 2 = 9

х = 3

15

A

В

Стороны треугольника 9, 12, 15. Р = 36

№ 517

Найдите площадь четырехугольника АВСD, в котором

АВ = 5 см, ВС = 13 см, СD = 9 см, DA = 15 см, АС = 12 см.

В

(Верно)

13

5

= ½ ∙5∙12 =

30

С

12

(Верно)

А

= ½ ∙9∙12 =

54

9

15

D

В треугольнике АВС сторона АВ = , ВС = 2. На стороне АС отмечена точка М так, что АМ = 1, ВМ = 1.

Найдите угол АВС.

В

2

60 0

45 0

105 0

(Верно)

1

30 0

С

М

1

А

*

Диагонали некоторой трапеции равны 5 см и 12 см, а основания 3 см и 10 см. Найдите углы между диагоналями этой трапеции.

13 2 = 12 2 + 5 2

В

С

3

3

(Верно)

12

5

5

А

F

D

10

Самостоятельная работа:

Вариант I

1. В прямоугольной трапеции основания равны 22 см и 6 см, большая боковая сторона – 20 см. Найдите площадь трапеции.

Вариант II

1. В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 7 см и 25 см, а меньшее основание равно 2 см. Найдите площадь трапеции.

2. Диагональ АС прямоугольной трапеции АВСD перпендикулярна боковой стороне СD и составляет угол 60° с основанием АD. Найдите площадь трапеции, если АD = 24 см.

Вариант I

Проверь себя

Вариант II

2 см

6 см

20см

25см

h

7 см

7

х

2

12

6

22 см

х 2 + 7 2 = 25 2

h 2 + 12 2 = 20 2

х 2 = 25 2 – 7 2

h 2 = 20 2 – 12 2

х 2 = 576

х = 24

h = 16

h 2 = 256

26 + 2

22 + 6

2

2

· 16 = 224 см 2

· 7 = 98 см 2

S =

S =

24 + 6

2

6

В

С

· 6 3 = 90 3 см 2

S =

12

6 3

30°

60°

30°

6

D

А

24 см

h 2 + 6 2 = 12 2

h 2 = 12 2 – 6 2

h 2 = 108 = 36 · 3

h = 6 3

Домашнее задание:

п. 54, 55,

ТПО № 47, 48, 49