Теорема менелая

Теорема Менелая

• Прямая теорема

• Пусть треугольник АВС пересечен прямой, не параллельной стороне АВ и пересекающей две его стороны АС и ВС соответственно в точках А 1, В 1, а прямую АВ в точке С 1 , тогда

• Обратная теорема

• Рассмотрим треугольник ABC. Пусть точки А 1, В 1, С 1 принадлежат прямым ВС, АС, АВ соответственно, т. е. лежат на сторонах треугольника или их продолжениях, тогда

• В треугольнике ABC проведена медиана BK, точка Р находится на отрезке ВС. Отрезки ВК и АР пересекаются в точке М, причём ВР = МР, длина ВС = 1. Найти длину отрезка АМ

Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВСD так, чтобы АС была его диагональю. ∆РВМ – равнобедренный, ∠𝑃𝐵𝑀 = ∠𝐴𝑀𝐾- как вертикальные, ∠𝑃𝐵𝑀 = ∠𝐴𝐷𝐾- как накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ∆АМD – равнобедренный. Таким образом, получим АМ=АD=ВС=1.

• По теореме Менелая для ∆АСР и прямой ВК имеем:

По условию АК = КС и ВР = РМ, поэтому СВ = МА = 1. Ответ: АМ=1.

(ОГЭ, Тип 25 № 339507)

• В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC

Решение.

∆ BAD - равнобедренный, потому что биссектриса BK перпендикулярна основанию AD. AK = KD = 14. Это означает, что AB = BD = BC/2. Поскольку BE – биссектриса, то по свойству биссектрисы = значит

• АЕ=АС/3. По теореме Менелая для ∆BЕC и прямой АD имеем =1, =1,BK=3KE
• BK+KE=28, 1,BK=21,KE=7

• 2016 На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
• а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
• б) Известно, что 𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐵𝐶 = 1 6 . В каком отношении прямая DL делит сторону AB?

Решение

а) ∆ABC – равнобедренный с основанием ВС, пусть ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐶𝐵 =2α, тогда в равнобедренном ∆LBD - ∠𝐿𝐵𝐷 = ∠𝐿𝐷𝐵 =α (как углы при основании BD). ∠𝐵𝐶𝐿 - внешний угол ∆LCD, значит ∠𝐵𝐶𝐿 = ∠𝐿𝐷𝐶 + ∠𝐷𝐿𝐶. Поэтому ∠𝐶𝐿𝐷 = 𝛼, и, следовательно, ∆LCD – равнобедренный, ч.т.д.

б) Пусть ВС = х, а АК—медиана и высота равнобедренного ∆АВС. Тогда в прямоугольном ∆АКВ:

𝐵𝐾 = 𝑥 /2 , 𝐶𝑂𝑆∠𝐴𝐵𝐾 = 1/ 6 ⟹ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝐵𝐾 /𝐶𝑂𝑆∠𝐴𝐵𝐾 = 3𝑥.

• Биссектриса BL делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: 𝐴𝐿 /𝐿𝐶 = 𝐴𝐵 /𝐵𝐶 = 3 /1 . Поскольку 𝐴𝐶 = 3𝑥, получаем: 𝐿𝐶 = 𝐴𝐶/4 = 3 𝑥/4.
• В пункте а) было доказано, что ∆LCD равнобедренный, поэтому 𝐶𝐷 = 𝐿𝐶 = 3𝑥/4.
• Применим теорему Менелая к ∆ ABC и прямой DH:
• **,**=1, =

Применение теоремы Менелая в стереометрических задачах.

• Дана правильная треугольная пирамида SABC в которой AB = 9, точка M лежит на ребре AB так, что AM = 8. Точка K делит сторону SB так, что SK : KB = 7 : 3. Ребро Точки M и K принадлежат плоскости α, которая перпендикулярна плоскости ABC.
• а) Докажите, что точка С принадлежит плоскости α.
• б) Найдите площадь сечения α.

Решение.

а) Пусть SO высота пирамиды, а KH — перпендикуляр, проведенный из K к плоскости ABC. Очевидно, что основание перпендикуляра H — проекция точки K, лежит на BO —проекции BS. Докажем, что M, H и С лежат на одной прямой. Пусть MC пересекает BO в точке T, и пусть N — середина AB.

• Запишем теорему Менелая для ∆BNO и прямой CM:
• **, тогда **. Из последнего соотношения получаем: .
• Но OH : HB = SK : KB = 7 : 3. Значит, точки H и T совпадают. Следовательно, CM пересекает BO в точке H. Плоскость KMC содержит KH, которая перпендикулярна ABC, таким образом, плоскости KMC и ABC перпендикулярны. Поэтому плоскость α проходит через точку C.

Дана правильная треугольная пирамида SABC в которой AB = 9, точка M лежит на ребре AB так, что AM = 8. Точка K делит сторону SB так, что SK : KB = 7 : 3. Ребро Точки M и K принадлежат плоскости α, которая перпендикулярна плоскости ABC.

а) Докажите, что точка С принадлежит плоскости α.

б) Найдите площадь сечения α.

• б) Заметим, что 𝐾𝐻 = 𝑆𝑂 = = . Вычислим CM с помощью теоремы косинусов:
• 𝐶𝑀 2 = 9 2 + 1 2 − 2 ∙ 9 ∙ 1 ∙ 𝐶𝑂𝑆60° = 73.
• Поэтому площадь треугольника CKM
• равна 𝑆 = √73 = 0,6√73

• Теорема Менелая для тетраэдра.
• В произвольном тетраэдре KLMN точки А, В, С и D принадлежат ребрам KN, NL, LM и МК соответственно Для того чтобы точки А, В, С и D принадлежали од­ной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы вы­полнялось следующее равенство:

Задача. В тетраэдре ZABC точки М, N и Р принадлежат ребрам ZA, АВ и ВС соответственно, причем ZM:MA=5:4, AN: NB = 2:5 и ВР: РС=1:2. Через точки М, N и Р проведена плоскость т. В каком отношении эта плоскость делит объем тетраэдра?

Решение. Пусть плоскость т (на рисунке не показанная) пересечет ребро ZC в точкеQ . Четырехугольник MNPQ — сечение данного тетраэдра плоскостью т. Определим, в каком отношении точка Q делит ребро ZC. На основании равенства (1) и данных условия имеем:

В многограннике MANPCQ проведем сечение через ребро AN и вершину Q. Это сечение разбивает рассматриваемый многогранник на треугольную пирамиду QAMN и четырехугольную пирамиду QANPC, которая диагональным сечением AQP разбивается на две треугольные пирамиды: QAPC и QAPN.

Задача. В тетраэдре ZABC точки М, N и Р принадлежат ребрам ZA, АВ и ВС соответственно, причем ZM:MA=5:4, AN: NB = 2:5 и ВР: РС=1:2. Через точки М, N и Р проведена плоскость т. В каком отношении эта плоскость делит объем тетраэдра?

Пусть S — площадь грани АВС,

Н — длина высоты тетраэдра, проведенной из вершины Z (сама высота на рисунке не показана), V — объем данного тетраэдра.

Определим, далее, объемы трех полученных выше пирамид:

где H Q — длина высоты треугольной пирамиды QAPC, проведен­ной из вершины Q на плоскость грани АРС (на рисунке также не показанной).

H Q =H. Тогда

Задача. В тетраэдре ZABC точки М, N и Р принадлежат ребрам ZA, АВ и ВС соответственно, причем ZM:MA=5:4, AN: NB = 2:5 и ВР: РС=1:2. Через точки М, N и Р проведена плоскость т. В каком отношении эта плоскость делит объем тетраэдра?

Пусть, далее, S — площадь грани ZAB,

H 1 - длина высоты данного тетраэдра, проведенной из вершины С на плоскость грани ZAB.

Тогда

Где

-длина перпендикуляра проведенного из вершины Q на плоскость грани ZAB .

Найдем теперь объем многогранника MANPCQ