Теорема Менелая

1. Может ли секущая прямая из теоремы Менелая разрезать стороны треугольника (или их продолжения) на отрезки длиной:

а) 3, 3, 5, 7,10, 14;

в) 3, 5, 6, 7, 7, 10,

Если такие варианты возможны, приведите примеры. Отрезки могут идти в разном порядке.

1. Доказать, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины.

2. Дан треугольник ABC. На его сторонах AB и BC взяли точки K и L, такие что AK:KB = 1:2, CL:LB = 1:3. Отрезки AL и CK пересекаются в точке O. Известно, что площадь треугольника AKO равна 1. Найдите площадь треугольника AOC.

3. В треугольнике ABC проведены биссектрисы внешних углов  AA₁,  BB₁ и  CC₁ (точки A₁,  B₁ и  C₁ лежат на прямых BC,  CA и  AB). Докажите, что точки  A₁,  B₁ и  C₁ лежат на одной прямой. 

4. Окружность S касается окружностей S₁ и S₂ внешним образом в точках A₁ и A₂. Докажите, что прямая  A₁A₂ проходит через точку пересечения общих внешних касательных к окружностям S₁ и S₂.

5. Дан четырехугольник ABCD. Его противоположные стороны AB и CD пересекаются в точке E, стороны BC и AD -  в точке F, а диагонали AC и BD -  в точке G. Прямая EG пересекает AD в точке H. Докажите, что AH:HD = FA:FD.  

1. Может ли секущая прямая из теоремы Менелая разрезать стороны треугольника (или их продолжения) на отрезки длиной:

а) 3, 3, 5, 7,10, 14;

в) 3, 5, 6, 7, 7, 10,

Если такие варианты возможны, приведите примеры. Отрезки могут идти в разном порядке.

1. Доказать, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины.

2. Дан треугольник ABC. На его сторонах AB и BC взяли точки K и L, такие что AK:KB = 1:2, CL:LB = 1:3. Отрезки AL и CK пересекаются в точке O. Известно, что площадь треугольника AKO равна 1. Найдите площадь треугольника AOC.

3. В треугольнике ABC проведены биссектрисы внешних углов  AA₁,  BB₁ и  CC₁ (точки A₁,  B₁ и  C₁ лежат на прямых BC,  CA и  AB). Докажите, что точки  A₁,  B₁ и  C₁ лежат на одной прямой. 

4. Окружность S касается окружностей S₁ и S₂ внешним образом в точках A₁ и A₂. Докажите, что прямая  A₁A₂ проходит через точку пересечения общих внешних касательных к окружностям S₁ и S₂.

5. Дан четырехугольник ABCD. Его противоположные стороны AB и CD пересекаются в точке E, стороны BC и AD -  в точке F, а диагонали AC и BD -  в точке G. Прямая EG пересекает AD в точке H. Докажите, что AH:HD = FA:FD.