Свойства числовых неравенств

Нестрогие неравенства

• а ≥ 0 означает, что а больше нуля или равно нулю , т.е. а – неотрицательное число , или что а не меньше нуля
• а ≤ 0 означает, что а меньше нуля или равно нулю , т.е. а – неположительное число , или что а не больше нуля

Нестрогие неравенства

• а ≥ в означает, что а больше в или равно в , т.е. а-в – неотрицательное число, или что а не меньше в; а-в ≥ 0
• а ≤ в означает, что а меньше в или равно в , т.е. а-в – неположительное число, или что а не больше в; а-в ≤ 0

в, вс, то ас если 5 3, 3-4, то 5-4 если 53, то 5+2 3+2 если 53 и 100, то 5·103·10, т.е. 5030 если 53 и -2 то 2) если а в, то а+с в+с 5·(-2) 3) если а в и m0, то аmвm 5) если 53, то -5 4) если а в и m то аm 5) если а в, то -а " width="640"

Свойства числовых неравенств

Свойства:

Например:

1) если а в, вс, то ас

• если 5 3, 3-4, то 5-4
• если 53, то 5+2 3+2
• если 53 и 100, то 5·103·10, т.е. 5030
• если 53 и -2 то

2) если а в, то а+с в+с

5·(-2)

3) если а в и m0, то аmвm

5) если 53, то -5

4) если а в и m то аm

5) если а в, то -а

в, сd, то 6) если 53, 42, то а + с в + d 5 + 4 3 + 2, т.е. 75 7) если а в0 и сd 0, 7) если 530 и 42 0, то ас вd то 5·4 3·2, т.е. 126 8) если а в≥0, nєN, 8) если 53≥0, 2єN, то аⁿ вⁿ то 5² 3², т.е. 25 9 9) если 530, то 1/5 9) если а в0, то 1/а " width="640"

Свойства числовых неравенств

6) если а в, сd, то

6) если 53, 42, то

а + с в + d

5 + 4 3 + 2, т.е. 75

7) если а в0 и сd 0,

7) если 530 и 42 0,

то ас вd

то 5·4 3·2, т.е. 126

8) если а в≥0, nєN,

8) если 53≥0, 2єN,

то аⁿ вⁿ

то 5² 3², т.е. 25 9

9) если 530, то 1/5

9) если а в0, то

1/а

-3 · в -3 · 3,8 4,2 2а 4,4 -11,1 -3в - 11,4 - 11,4 -11,1 " width="640"

Известно, что 2,1 а и 3,7 в Найти оценку чисел: а) 2а б) -3в в) а+в г) а-в д) а² е) в³ ж) 1/а

Решение: а) 2а ?

Решение: б) -3в ?

2,1 а

3,7 в

2 · 2,1 2 а 2

-3 · 3,7 -3 · в -3 · 3,8

4,2 2а 4,4

-11,1 -3в - 11,4

- 11,4 -11,1

-1 · в -1· 3,8 -3,7 - в - 3,8 - 3,8 Сложим почленно неравенства одинакового смысла 2,1 а - 3,8 - 1,7 - в Решение: в) а+в ? Сложим почленно неравенства одинакового смысла 2,1 3,7 5,8 " width="640"

Известно, что 2,1 а и 3,7 в Найти оценку чисел: а) 2а б) -3в в)а+в г) а-в д) а² е) в³ ж) 1/а

Решение: г) а-в ?

3,7 в -1·3,7 -1 · в -1· 3,8

-3,7 - в - 3,8

- 3,8

Сложим почленно неравенства одинакового смысла

2,1 а

- 3,8

- 1,7 - в

Решение: в) а+в ?

Сложим почленно

неравенства одинакового

смысла

2,1

3,7

5,8

Известно, что 2,1 а и 3,7 в Найти оценку чисел: а) 2а б) -3в в)а+в г) а-в д) а² е) в³ ж) 1/а

Решение: д) а²

Обе части двойного

неравенства 2,1 а

положительны, значит

(2,1)² а )²

4,41 а ²

Решение: е) в³

Возведем все части неравенства

3,7 в

(3,7)³

50,653

0; во и а1/в Значит, если 2,1 а 1 : 2,1 1 : а 1 : 2,2 10/21 1 : а 5/11 Т.к. 110/231 1 : а 105/231 105/231 5/11 " width="640"

Известно, что 2,1 а и 3,7 в Найти оценку чисел: а) 2а б) -3в в)а+в г) а-в д) а² е) в³ ж) 1/а

Решение: ж) 1/а

По свойствам неравенств

если а0; во и а1/в

Значит, если 2,1 а

1 : 2,1 1 : а 1 : 2,2

10/21 1 : а 5/11

Т.к. 110/231 1 : а 105/231

105/231

5/11