Сумма арифметической прогрессии

Раздел долгосрочного плана: 9.3А Последова-

тельности

Школа: СШ № 8 с ДМЦ

Дата:

ФИО учителя: Дивеева Н.В.

Класс: 9

Количество присутствующих:

отсутствующих:

Тема урока

Сумма арифметической прогрессии

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)

9.2.3.3 знать определение и характеристическое свойство арифметической прогрессии, распознавать арифметическую прогрессию среди числовых последовательностей;

9.2.3.4 выводить и применять формулы n-го члена, суммы n первых членов арифметической прогрессии;

9.2.3.5 решать задачи, связанные с арифметической прогрессией;

Критерии оценивания

Учащиеся:

Распознают арифметическую и геометрическую прогрессию среди данных последовательностей;

находят n -ый член последовательности;

находят сумму n первых членов арифметической/геометрической прогрессии;

решают задачи, связанные с арифметической прогрессии.

Языковые цели

Учащиеся будут:

• использовать предметную лексику и терминологию раздела при решении задач;

• аргументировать использование арифметической и геометрической прогрессий при решении задач;

• комментировать решение задач на банковский процент;

• комментировать решение задач на делимость, суммирование и доказательство неравенств.

Лексика и терминология, специфичная для предмета:

• числовая последовательность;

• способы задания последовательностей;

• предыдущий член последовательности, последующий член последовательности;

• первый член последовательности и т.д.,n-й член последовательности;

• формула n-го члена последовательности;

• рекуррентная формула;

• возрастающая, убывающая последовательность;

• разность арифметической прогрессии;

• знаменатель геометрической прогрессии;

• среднее арифметическое;

• среднее геометрическое;

• сумма n первых членов арифметической/геометрической прогрессии;

• бесконечно убывающая геометрическая прогрессия;

• метод математической индукции.

Полезные выражения для диалогов и письма:

• n –й член последовательности можно представить в виде формулы…;

• следующим элементом последовательности будет…;

• чтобы найти …член …прогрессии…;

• последовательность является убывающей/возрастающей, так как…;

• чтобы найти сумму …первых членов …прогрессии…;

• числа…являются членами арифметической прогрессии, так как…;

• числа…являются членами геометрической прогрессии, так как…;

• так как а₁=…,а_n=…, то сначала нужно найти …;

• чтобы перевести периодическую дробь…в обыкновенную…;

• если утверждение истинно при …, то данное утверждение …истинно….

Привитие ценностей

Учащиеся должны быть изобретательными, думать о контекстах заданий; критичными и поддерживать друг друга

У них будет возможность проводить диалоги, для развития навыков общения.

У учащихся проявятся лидерские качества

Межпредметные связи

Физика, геометрия

Предварительные знания

Понятие числовой последовательности; последовательности, содержащей степени. Умение определять закономерности и находить недостающие члены последовательности, содержащей степень с целым показателем. Понятие процента, нахождение процента от числа, числа по его проценту, процентного отношения. Задачи на проценты. Делимость чисел, признаки делимости.

Ход урока

Запланированные этапы урока

Деятельность учителя на уроке

Деятельность учеников

Оценивание

Ресурсы

Начало урока

2 минут

а) Концентрация внимания учащихся б) Позитивный настрой на урок «Улыбнись соседу»

в) Целеполагание, тема урока

10 минут

25 минут

1. Актуализация опорных знаний

Тест по теме « Арифметическая прогрессия»

Вариант 1

1. В арифметической прогрессии (а_n): 15; 11; 7;… разность d=?

2. Дано: а₁= - 4; d=3.

Найдите а₂₀

3.Дано:  а₁= - 3; d=7.

Найдите S₇.

4. Дано: а₇=21; а₉=29.

 Найдите d; а₁.

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 9 и не превышающих 80.

6. Каким будет номер члена арифметической прогрессии равного  -198, если а₁=5; d= - 7?

Вариант 2

1. В арифметической прогрессии (а_n): 12; 9; 6;…разность d=?

2.Дано: а₁=5; d=-7.

Найдите а₃₀.

3. Дано: а₁= - 2; d=9.

Найдите S₇.

4. Дано: а₇=22; а₉=32.

Найдите d; а₁.

5. Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превышающих 150.

6. Каким будет номер члена арифметической прогрессии равного 53, если  а₁= - 4; d=3?

1. Фронтальная работа

1. Дана последовательность:

a) Запишите формулу общего члена последовательности.

b) Напишите следующие два члена последовательности.

с) Ученик утверждает, что является членом данной последовательности. Прав ли ученик? Обоснуйте свой ответ.

Критерии:

- Записывает формулу n –ого член последовательности

- Определяет вид последовательности

- Записывает два следующих члена последовательности

- Отвечает на вопрос задачи

2. Найти сумму 19 первых  членов арифметической прогрессии

a₁, a₂, a₃, ..., если известно, что a₄ + a₈ + a₁₂ + a₁₆ = 224.

Согласно формуле общего члена арифметической прогрессии a_n = a₁ + d(n - 1). Тогда
a₁ + d(4 - 1) + a₁ + d(8 - 1) + a₁ + d(12 - 1) + a₁ + d(16 - 1) = 224
4a₁ + 36d = 224
a₁ + 9d = 56
a₁ = 56 - 9d

По формуле суммы арифметической прогрессии
S₁₉ = (a₁ + a₁₉) / 2 * 19 = (2a₁ + 18d) / 2 * 19 = (a₁ + 9d) * 19 = (56 - 9d + 9d) * 19 = 1064.

Ответ: 1064

 Дескрипторы:

- Использует формулу n –ого член последовательности

- Использует сумму n членов последовательности

- Составляет систему уравнений

- Решает систему

- Отвечает на вопрос задачи

3.Величины углов выпуклого четырехугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 42°. Найдите эти углы.

Дано: арифметическая прогрессия…

Найти:...

Решение:

Рассмотреть разные способы решения задачи.

1 способ

а₁ +а₁+d +а₁+2d+ а₁+3d=360

4а₁+6d =360

а₁=27 остальные углы   , , .

2 способ

 4. Задача «Лес»                             

Учащиеся отвечают на вопросы теста

Самооценивание

Взаимопроверка и взаимооценивание. Обсуждение вопросов, вызвавших затруднение учащихся.

Презентация

Карточки с тестами

Ответы на интерактивной доске (слайды № 2-4)

Карточки с заданиями

Приложение

(Задача по подготовке к PIZA)

Конец урока

3 минуты

Рефлексия:

- что узнал, чему научился?

- что осталось непонятным ?

- над чем необходимо работать?

Где возможно учащиеся могут оценить свою работу и работу своих одноклассников по определенным критериям

Д/з: 1. Геометрическая задача

Длина сторон прямоугольного треугольника три последовательных члена возрастающей арифметической прогрессии. Найдите разность этой прогрессии, если периметр треугольника равен 120.
Решение.
Пусть разность прогрессии равна d, d0.
Составим систему и решим её
стороны   прямоугольного треугольника а_1, а₁+d, а₁+2d,

а₁ +а₁+d +а₁+2d=120

3а₁+3d=120

а₁=40-d

а₁²+( а₁+d)²= (а₁+2d)²

а₁² - 2 а₁d -3 d² =0 при а₁=40-d
d=10

Ответ: d=10.

Критерии:

- Вводит неизвестную переменную

- Составляет систему уравнений

- Решает систему

- Отвечает на вопрос задачи

2. Решить уравнение

( x+x+1)+(x+2x+3)+(x+3x+5)+…+(x+20x+39)=4500

(Найти закономерность составления уравнения)

Решение уравнения с помощью формулы суммы n первых членов  арифметической прогрессии

Ответ :17