Степени с рациональным показателем

Тема занятия. Степень с рациональным и действительным показателем

"Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь". Ломоносов М.В.

План

1. Понятие степени с рациональным и действительным показателем

2. Свойства степеней с рациональным и действительным показателем

3. Примеры с применением свойств степеней с рациональным и действительным показателем

4. Самостоятельная работа

1. Понятие степени с рациональным показателем

Мы уже знаем, какой смысл имеет выражение aⁿ при а0 и n целом. Например 2³=2*2*2, то есть aⁿ есть произведение n множителей, каждый из которых равен а.

Введем теперь понятие степени, у которой показатель не целое, а дробное число.

Определение: если    — натуральное число, причём   ,   — целое число и частное    является целым числом, то при   справедливо равенство  .

Например:

Степень с основанием равным нулю определяется только для положительного дробного показателя. Если - дробное положительное число (m, n натуральные), то .

Для отрицательных оснований степень с дробным показателем не рассматривается, то есть такие выражения как не имеют смысла.

Значение степени с дробным показателем r не зависит от способа записи числа r в виде дроби, то есть

1. Свойства степеней с рациональным и действительным показателем

1. 

2. , если

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

1. Примеры с применением свойств степеней с рациональным и действительным показателем

г)

4. Самостоятельная работа

№1. Имеет ли смысл выражение (списать выражение и написать ответ – да или нет, затем объяснить почему)

№2. Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

а)

б)

№3. Представьте арифметический корень в виде степени с дробным показателем:

а) ;

№4. Вычислите:

а) ; ; ;

б) ; ; ;