Россия, Ульяновск
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 24.10.2021 16:10
Заключнова Ирина Сергеевна
учитель математики
1 163
60 377 
Местоположение
Статья тригонометрия с параметрами
Категория:
Математика
24.10.2021 16:02
Просмотр содержимого документа
«Статья тригонометрия с параметрами»
Добрый день! Меня зовут Заключнова Ирина, я учитель математики многопрофильного лицея №11, я предлагаю обсудить ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕСТВА С ПАРАМЕТРОМ: СИСТЕМА РАЗНОУРОВНЕВЫХ УПРАЖНЕНИЙ
Математика является системообразующей дисциплиной в образовательном процессе школьника, формируя умения познавательной сферы человека. Важную роль в процессе познания играет исследовательская деятельность учащихся. Исследовательская деятельность учащихся – это образовательная технология, использующая в качестве главного средства учебное исследование. Исследовательская деятельность предполагает выполнение учащимися учебных исследовательских задач с заранее неизвестным решением, направленных на создание представлений об объекте или явлении окружающего мира, под руководством специалиста – руководителя исследовательской работы. Огромную роль в этом играют уравнения и неравенства с параметрами.
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами могут встретиться в КИМах по математике профильного уровня ЕГЭ (задание №18 https://ege.sdamgia.ru/test?id=40612928&nt=True&pub=False). Самое важное их отличие тригонометрических уравнений им неравенств от алгебраических состоит в том, что последние имеют конечное число корней, а тригонометрические – бесконечное. Именно этот факт усложняет отбор корней и выбор значения параметра.
Проблема низкого уровня выполнения задания №18 является очевидной, поскольку в анализе выполнения заданий КИМов по математике профильного уровня по итогам ЕГЭ 2020 года, он равен 1,87%. В это же выполнение алгебраических задач с развернутым ответом варьируется в пределах от 2,13% до 36,95%. Трудности в решении задач с параметрами связаны не столько с их технической сложностью, сколько с отсутствием ясного понимания многоуровневости таких задач. Например, в обычном уравнении «с иксом» следует просто найти его корни, следуя алгоритму решения, и на этом уровне решение заканчивается. А в уравнении с параметром следует перейти на более высокий уровень: необходимо рассмотреть корни, то есть понять, как они изменяются при изменении данных задачи и, далее, определить какими должны быть эти числовые данные, чтобы корни уравнения в итоге удовлетворяли тому или иному условию. Поэтому, формирующаяся в школе привычка решить уравнение и на этом завершить выполнение задания, присутствие в подавляющем числе уравнений и неравенств только одной переменной, сразу же переводит задачи с параметром в ранг трудных.
Описание типологии задач по решению тригонометрических уравнений и неравенств с параметром; разработка разноуровневой системы упражнений по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром» в курсе математики старшей школы может улучшить сложившуюся ситуацию и усовершенствовать знания современных школьников.
Развитие тригонометрии шло по пути накопления и систематизации формул, уточнения основных тождеств, становления терминологии и обозначений. Важно отметить, что тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей.
До 1939 года для преподавания математики в школе было характерно научить школьника решать любые естественнонаучные задачи. Но к середине 60-х годов и до настоящего времени происходит разделение задач на стандартные и «нестандартные», к которым были отнесены задачи с параметрами. На основе анализа различных источников были введены определения параметра.
Определение 1. Параметром называется независимая переменная величина, входящая в условие задачи, или появляющаяся в процессе ее решения, «управляющая» решением задачи.
Определение 2. Задача, условие которой содержит или в ходе решения которой появляется хотя бы одна независимая переменная, удовлетворяющая определению понятия «параметр», называется задачей с параметрами. [1]
Перед вами результаты проведения логико-математического анализа, которые позволяют сделать вывод, что в учебном материале встречается понятие параметра, которое не вводится и не обозначается через определение. Но в тоже время решение задачи требует исследовательской деятельности и это приводит к обращению к теме параметр. Чтобы на практике найти выход из данной ситуации необходимо рассмотреть данную тему в контексте разноуровневой системы упражнений.
Табл ица №1
Логико-математический анализ те мы «Тригонометрические уравн ения и нераве нства с парам етром» в школ ьном курсе матем атики
| Учебник | Формул ировка определения, содержащего пара метр | Вывод |
| Мордк ович А.Г., Семенов П.В. Алге бра и нач ала математического анал иза, 10 класс | 1: Да на единичная окруж ность, на не й отмечена начал ьная точка А – первый кон ец горизонтального диаметра. Поставим в соответствие каждому действительному чис лу t точку М окружности в зависимости о т того t=0 ил и t0 или t 2: Реш им уравнение cos t =a, гд е |a| 3: Решим уравн ение sin t =a, где |a| 4: Реш им уравнение tg t =a, т о уравнение tg t =a име ет решения: 5: Реш им уравнение ctg t =a, т о уравнение ctg t =a име ет решения: 6: В о время введ ения новой переменной (параметра) в методе решения с помо щью замены перем енной.
| В параг рафах: числовая окружность, простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, мет оды решения тригономе трических уравнений – встреч ается понятие парам етра, которое н е вводится, н е обозначается. Н о в то же время решение задачи треб ует исследовательской деятел ьности и эт о приводит к обращению к теме пара метр. |
| Виленкин Н.Я. Алге бра и математический анализ, 10 кла сс | 1: Так ка к sin t является ордин атой точки М(t) координатной окр ужност и, то дл я решения уравн ения sin t = m надо снач ала найти н а этой окружности точки, имею щие ординату m, т.е. точ ки пересечения эт ой окружности с прямой y=m. Пос ле отыскания эт их точек оста ется найти множе ства чисел, кото рым они соответствуют, и объед инить эти множества. | В параг рафе тригонометрические уравн ения и неравенства встречается поня тие параметра, кото рое не вводится, не обозна чается. Но в тоже вре мя решение зад ачи требует исследова тельской деятельности и это приводит к обращ ению к те ме параметр. |
1, то уравн ение cos t =a имеет реше ния: 
.
В основу разноуровневой сист емы упражнений мож но положить разли чные классификации уравн ений и нерав енств (например - по характеру требования, по функциональному назначению, по величине проблемности, по методам решения, по числу объектов в условии задачи и связей между ними, по компонентам учебной деятельности), разли чными способами распре делить уравнения н а уровни сложн ости. Но глав ное, чтобы дан ная система соответс твовала принципам сис тем упражнений. Представляем принципы отбора и составления систем упражнений (автор принципов методист Г.И.Саранцев)
- принципа систематичности (первый вид упражнений обеспечивает понимание и запоминание, второй вид упражнений предполагает связывание вновь изученного материала с ранее изученным, третий вид упражнений упражнения на систематизацию материала, полученного при выполнении упражнений первого и второго видов);
- принципа последовательности (при составлении и подборе систем упражнений он проявляется в том, что упражнения располагаются в порядке возрастания сложности: от менее сложного к более сложному, от менее трудного к более трудному, от более известного к менее известному);
- принципа прочности (в наличии однотипных упражнений в одном блоке);
- контрпримеры ( контрпримером, исходя из дидактических соображений, называют любую задачу, которая помогает выявить, а значит, и устранить имеющиеся у учащихся ошибочные ассоциации);
-принципа сознательности (дать ребенку время для интериоризации учебного материала).
В математике, как ни в одной другой науке, важна систематизация полученных знаний по различным основаниям и критериям, а это может осуществляться и находить реализацию за счет применения в процессе обучения специальных задач, которые могут представлять собой разноуровневую систему упражнений.
З а осн ову системы упражнений мы взя ли три ви да упражнений.
Первый ви д – уровень упраж нений должен обеспечить поним ание и запоминание, узнав ание и приме нение понятия, теор емы, правила в простейших случ аях. Сюда м ы отнесли сам ые простейшие уравн ения и нераве нства, которые н е требуют приме нения особых мето дов решения - доста точно применить опреде ление тригонометрической функ ции (Таблица 2). Затем м ы вводим небол ьшое усложнение в виде дополнит ельного действия –необходимо ещ е выразить аргумент. Они будут являться основой для решения уравнений следующего уровня.
Таблица 2
Уравнения и нераве нства первого вида
| Ви д | Наполня емость системы разноур овневых упражнений | |
| Пер вый вид | Тригономе трические уравнения | Тригономе трические неравенства |
| Реш ить уравнение sin x = a – 1 Реш ить уравнение Реш ить уравнение Реш ить уравнение Реш ить уравнение Решить уравн ение Решить уравн ение ctg Решить уравн ение tg ax2 = Решить уравн ение Решить уравн ение tg
| Решить нераве нство sin ax b при 0b Реш ить неравенство Реш ить неравенство Реш ить неравенство 2tg ( ax - 4) Реш ить неравенство cos2 (x+1) a, 0a Реш ить неравенство ctg Реш ить неравенство Реш ить неравенство Реш ить неравенство | |
=2а
= b – 2
= a
= a
)
, 0b
, 0a
, 0b
Вто рой вид – уров ень упражнений предпо лагает связывание вно вь изученного матер иала с ран ее изученным (Таблица 3). Н а данном эта пе будет целесоо бразно разделение вс ех задач н а методы и х решения.
Таблица 3
Уравнения и неравенства второго вида
| Вто рой вид | Мет од | Тригонометрические уравн ения | Тригонометрические нераве нства |
| Преобразований | Реш ить уравнение cоs4х+ sin4х = а Реш ить уравнение Решить уравн ение 2sin22x – (b+2a+2)sin2x + +b(a+1)=0 Решить уравн ение sin2x + sin2a + sin2
| Решите нераве нство sin 3x -2asin2
| |
| Введ ения дополнительной перем енной | Найдите вс е значения парам етра а, пр и каждом и з которых уравн ение
Найдите вс е значения парам етра р, пр и которых уравн ение 6sin3x = p – 10cos2x не име ет корней Реш ите уравнение (а-1)sin2 x – 2(a+1)sin x +2a – 1=0 Решите уравн ение a cosx +
| Найдите вс е значения парам етра a, при кото рых для люб ого действительного x выпол нено неравенство
| |
| С использованием граф ика | Найдите знач ение параметра а, при каж дом из кото рых уравнение При как их значениях парам етра а граф ики функций
| Решить нераве нство
| |
| С использованием свойств функ ции | Найти вс е значения парам етра а, пр и которых уравн ение Най ти все знач ения параметра а, при которых уравнение име ет ровно дв а решения. Реш ите уравнение cos2(x+a) + cos2(x-a)=sin2a Реш ите уравнение msin(x+150)=nsin(x-750) | Найд ите все знач ения параметра а, при кото рых для люб ого действительного знач ения х выполнено неравенство 2а – 4 + а(3 – sin2 x)2 + cos2x
|
sin х – 3cosx =2а –1
+ +2cos
cos
где a0
cos4 x – (а + 2)cos2x – (а + 3) = 0 имеет решение
+
име ет ровно вос емь различных реше ний
, -1m
имеет единст венный корень
Третий ви д – уровень упраж нений должны учи ть систематизировать зна ния по разли чным критериям устано вление взаимосвязей меж ду теоремами, выдел ение свойств и признаков поня тия, на группи ровку задач, тео рем по мето дам их реше ния, доказательства. В данном бло ке будут присутствовать различные уравн ения и нераве нства высокого уро вня, которые взя ты из КИМ ов ЕГЭ, олим пиад. Все упраж нения никак н е подразделены н а группы по методам решения, как это было в первом и втором виде, дл я того, что бы каждый ребе нок перед реше нием задачи са мостоятельно смог отне сти к конкре тному методу и применить ег о.
Таблица 4
Уравнения и неравенства третьего вида
| Тре тий вид | Тригономе трические уравнения | Тригономе трические неравенства |
| Реш ите уравнение 2cos 2x-4a cos x + a2+2=0 и найти пр и каких значе ниях а уравн ение решения н е имеет Опред елить количество кор ней уравнения cos x ctg x – sin x = a cos 2x н а отрезке х [0:2 Найти наибо льшее целое знач ение параметра а, при кото ром уравнение cos 2x + a sin x = 2a – 7 име ет решение Найд ите все знач ения параметра k, пр и каждом и з которых уравн ение Найд ите все знач ения k, при каж дом из кото рых уранвение Найдите знач ения параметра a, пр и которых уравн ение cos2x – a2 cos xt ( a2 – a + | Найдите вс е значения парам етра а, пр и каждом и з которых множе ство решений нераве нства
Найдите вс е значения парам етра а, пр и каждом и з которых множе ство решений нераве нства
|
]
= 2k имеет хо тя бы од но решений на интервале (0; 
)
= 2 име ет хотя б ы одно реше ние на отрезке 
) ( a - 
]
содержит отре зок 
содержит отре зок 
Целос тная система разноур овневых упражнений, кото рая была по добра на и предст авлена в хо де данной раб оты, делает возмо жным не тол ько формирован ие учебных навыков, но и позволяет разви вать системно е мышление учащихся. Выпол нение обучения с основой н а данную сист ему упражнений предст авляет возможность дл я учеников приме нять полученные знания, идеи и методы н а практике.
Представленная содержа тельно-методическая лин ия задач с параметрами в школьном кур се математики соответ ствует государственным требованиям к подго товке учащих ся, но остав шиеся пробелы и восприятие педагогами задач с параметрами, ка к задач высо кого уровня сложн ости дает ша нс учителя м строить н а ее ба зе различные элективные курсы. Он и в совме стной работе орган ично и идеа льно представляют еди ное целое и используют основные ид еи и мет оды в прилож ениях к те м или ин ым предметам: физ ике, экономике и др.
Литература
Арнольд И. В. Принципы отбора и составления арифметических задач. — М.: МЦНМО, 2008. — 45 с.
Гурова Л.Л. Психологический анализ задач. – Воронеж, 1976
Мирошин В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика. М.: Экзамен, 2009. 286 с.
Моденов, П.С. Математика. Пособие для поступающих в ВУЗы. [Текст] / П.С. Моденов, СИ. Новоселовым.: МГУ, 1966.-431 с 79
Ястребинецкий, Г.А. Уравнение и неравенства, содержащие параметры. [Текст] / Просвещение, 1986.
Вебинар для учителей
🎓 Свидетельство об участии ✨БЕСПЛАТНО!✨
