Средние пропорциональные числа, расчёт.

Тема: geometric mean numbers, определение.

Автор: Мустафаев Рустем Эйвасович, 02.03.1968 г.р., место рождения – г. Горловка.

Аннотация: в работе предложен способ определения средних геометрических (пропорциональных) чисел, любого произведения, при любом количестве отличающихся множителей…

Ключевые слова:

срединное число; среднеарифметическое; ориентир поиска; Ge; Ƶge – среднее геометрическое приближение; погрешность.

Обозначим средние геометрические числа «Ƶge»; показано, как они образуются от «Аmin» (минимального множителя), увеличенного на его приращение по отношению к среднему арифметическому первоначальных множителей, пропорционально их количеству. Образование средних пропорциональных происходит через промежуточную, близкую к Ƶge, точку приближения (точному значению среднего пропорционального) – значение «Ge» (условно).

Решение, принцип.

1)Находим среднее арифметическое значение множителей произведения.

Асред.нач. = ;

2)Определим «Amin» в произведении, его долю (часть) приращения, равную делению Асред.нач. на количество множителей в начальном произведении, или количество полученных (преобразованных) множителей из первоначальных (при приближении их абсолютных числовых значений для удобства расчетов)…∆Аmin = Асред.нач. : n; n N, n – количество множителей. Приближение чисел – означает уменьшение их числовой разницы, преобразование в произведение близких величин.

3)Далее определяем число, относительно близкое к «точке приближения» Ge, условное число «х»; х = Аmin.нач + ∆Аmin;

4)Методом постепенного приближения, к точному Ƶge, получим: среднее арифметическое суммы числа «х» и Асред.нач.; далее среднее арифметическое «х» с полученным числом…Остаток полученного числа является ориентиром действия. Применяем его (отнимаем, может, прибавляем к остатку числа «х»)…Получаем исходную точку точного приближения «Ge», от которой производим окончательный расчет с проверкой чисел, возводя их в степень, равную количеству множителей…Т.е., расчет производится от желаемой точности (и необходимости) по формуле: Ƶge = Ge ± 0,1; (или 0,01; 0,001; 0,0001,…; n – степень для необходимого приближения). При этом Ƶgeⁿ = (Ge ± 0,1* )ⁿ, n – степень равна количеству множителей; n N. Ƶgeⁿ = А*В*С…*N, n N, n – количество множителей интервала |A;…N|.

Затем можем определить абсолютную и относительную погрешность полученного среднего геометрического, Ƶge; Абсолютная равна: ∆Ƶge = | Ƶge - Zд|, или погрешность произведения по полученному «Ƶge», ∆Ƶgeⁿ = | Ƶgeⁿ – (А*В*С…*N)|;

Относительная погрешность, δ = * 100 %. Значения среднего пропорционального всегда близки к точке поиска точной величины, – «Ge». Для нахождения ориентира поиска, числа «х», могут применяться несколько действий по определению среднего арифметического между Асред.нач. и (х + Аmin), где ∆Аmin = , n N, количество множителей произведения; далее от полученного числа с «∆Аmin», для приближения «х» к более близкому числу, к числу «Ge», исходной точке точного определения среднего пропорционального.

В отдельных случаях для расчетов может применяться срединное значение суммы множителей, равное: А|| = ; (при произведении с тремя множителями, – деление на «3»); А|| = (при n-множителях, – деление на «n»); А||, срединное значение, часто близко к числу «х», –ориентиру определения среднего пропорционального.

Рассмотрим примеры.

Произведение 7*12*20 = 34*20 = 680; Найдем значение «Ƶge». Определим Асред.нач. = = = 19,5; Найдем ∆Аmin = 19,5:3 = 6,5; → х₁ = 7(Аmin) + 6,5 = 13,5; Найдем Аср = = = 10 = х₂; Найдем Аср = = = = 8,25 = х₃; От «х₃», ориентира поиска, найдем т. Ge и далее определим Ƶge. 8,25³ (n = 3 равно количеству множителей) образует 561,515625; Образуем от 8,25 ƒ(Ge) = (8,25 + 0,02*n)³, n 1, для образования среднего пропорционального.

n = 20 → 8,65³ = 647,214625;

n = 30 → 8,85³ = 693,154125;

Возьмем 8,8³ = 681,472; уменьшим до 8,79³ = 679,151439; Возьмем 8,795³ = 680,31105987; Тогда Ƶge ≈ 8,795; Абсолютная погрешность произведения равна: 680,31105987-680 = 0,31105987 ≈ ≈0,31; Относительная, δ (Ƶge³) = *100% ≈ 0,0046*100% = 0,46%. Расчет достаточно точный.

Возьмем другой пример. Рассмотрим произведение 11*18*24 = 4752; Найдем А|| = = =17,666666; 17,66³ ≈ 5508; Применим ƒ (Ge) = (А||-1)³ = (17,66-1)³ = 4624,076296 ≈ = 4624,1; Возьмем 16,8³ = 4741,632; Возьмем 16,82³ = 4758,586568; Возьмем 16,81³ = 4750,104241. Значит, среднее пропорциональное данного произведения ≈ 16,81.

∆ Ƶge³ = |4750,10421 - 4752| = 1,8957899999 ≈ 1,9; Относительная погрешность, δ Ƶge³ = *100% = 0,0003998316*100% ≈ 0,0399 ≈ 0,04%.

Расчёт достаточно точный:

Рассмотрим произведение 19*25*107 = 50825; Из данных, отличных по значению чисел, образуем произведение близких по значению. Для этого сделаем общее разложение множителей, делением на «5». Тогда 19*25*107 = 3,8*5*5*5*5*5*4,28*5, (способ приближения значений множителей) → 2*1,9*2*2,5*2*2,5*2*2,5*2*2,5*2*2,24*2*2,5; Получено семь близких по значению двойственных множителей. Для расчёта желательно образовать шесть двухчисленных множителей. Образуем три группы множителей: 1) (2*1,9*2,5)*(2*2,24*2); Из произведения “2*2,5” смещаем числа *2,5; *2;

2) (2*2,5)*(2*2,5); 3) (2*2,5) * (2*2,5).

В 1-й группе получаем: 3,8*2,5*4,28*2=81,32;

Во 2-й: 5*5=25; В 3-й 5*5=25. Проверим: 81,32*25*25=50825; Преобразование верно. Аmin = 25; Найдём Асред.нач = ; Найдём ∆Аmin – приращение минимального множителя для образования числа «х», близкого к значениям Ge и Ƶge (среднего пропорционального)…

Учитывая, что произведение преобразовано в шесть двухчисленных множителей, деление Асред.нач производим на «6»…

∆Аmin = 65,66:6 = 10,9433 ≈ 11.

Определяем ориентир поиска: х = Аmin + ∆Аmin = 25+11=36, 36³ = 46656; 37³ = 50653; 38³ = 54872;

Но 19*25*107 = 50825. х = 36; 37 – соответствуют множителю, близкому к среднему пропорциональному числу… 37 – число «Ge» – исходная точка определения Ƶge – среднего геометрического числа…

Применим формулу: Ƶge³ = (Ge ± 0,1*n) ³, n N; n 1. Постепенно увеличивая «n», найдём наиболее точное значение.

(37+0,1*2) ³ = 51478,848 50825; (37+0,1) ³ = 51064,811;

Уменьшим приращение «Ge» до «+0,05»; (37+0,05) ³ = 50858,627625; уменьшим до «+0,02».

(37+0,02) ³ = 50735,184408;

Возьмём «+0,03».

(37+0,03) ³ = 50776,309927; (37+0,04) ³ = 50817,457664 ≈ 50825 (приближённое значение среднего пропорционального ≈ 37,04).

Определим погрешность произведения:

Абсолютная: ∆Ƶge = |50817,457664 - 50825| ≈ 7,542335 ≈ 7,54;

Относительная:

521 ≈ 0,015%. Вычисление достаточно точное.

Таким образом, через среднеарифметические, срединные значения множителей, (групп множителей), способом приближения к точке точного поиска «Ge», – возможно определить среднее пропорциональное (геометрическое число любого произведения; при любом количестве множителей…

Рассмотрим произведение.

17*33*21*57=671517. Найдём среднее геометрическое Ƶge; Так как числа сильно отличны (57-17= =40), целесообразно определить срединное значение множителей.

А|| = ; Amin = 17;

Определим приращение Amin; ∆Amin = ; Тогда х = 17+8=25; – ориентир поиска;

25⁴ = 390625; 27⁴ = 531441; 28⁴ = 614656; 29⁴ = 707281.

671517 расположено между 28⁴ = 614656 и 29⁴ = 707281

Образуем ƒ (Ƶge) = (28+0,1n) ⁴, n 1; n N для определения среднего пропорционального числа.

n = 2 → 28,2⁴ = 632406,6576;

n = 4 → 28,4⁴ = 650539,0336;

n = 5 → 28,5⁴ = 659750,0625;

n = 6 → 28,6⁴ = 669058,5616;

n = 6,2 → 28,62⁴ = 670932,01809;

n = 6,22 → 28,622⁴ = 671119,57990;

n = 6,24 → 28,624⁴ = 671307,18102;

n = 6,26 → 28,626⁴ = 671494,82148;

n = 6,27 → 28,627⁴ = 671588,65645;

n = 6,265 → 28,6265⁴ = 671541,73773;

n = 6,263 → 28,6263⁴ = 671522,97094;

n = 6,262 → 28,6262⁴ = 671513,58768;

Данное число наиболее близко к 671517. Тогда среднее геометрическое, Ƶge ≈ 28,6262;

Погрешность произведения равна:

Абсолютная: ∆Ƶge⁴ = |671513,58768-671517| = 3,41232;

Относительная: Ƶge⁴ =

Найдём произведение, в котором средними пропорциональными есть

A*B*C = 2,71³ = 19,902511

Возьмём произвольно, 4*7*С = 19,902511

28С = 19,902511; С = ;

Проверим: 4*7*0,71 = 28*0,71 = 19,88. Найдём Ƶge, так как разница между множителями большая, найдём их срединное значение. А|| =

Найдём приращение Amin = 0,71; ∆Amin = (так как в произведении три множителя);

∆Amin = Найдём х⁴ (ориентир поиска) х = 0,71+1,301 = 2,011;

2,011³ = 8,13272731;

Образуем ƒ (x) = (2,011 + 0,2*n)³

n N, n 1;

n = 2 → 2,411³ = 14,014952531;

n = 3 → 2,611³ = 17,800025131;

Прибавим «0,1», (2,611+0,1)³ = 2,711³ = 19,924551431 ≈ 19,9 (19,88 ≈ 19,9). Значит, средним геометрическим произведением есть основании натурального логарифма, e ≈ 2,711; Найдём погрешность произведения при полученном Ƶge = e ≈ 2,711;

Абсолютная: ∆ Ƶge³ = |19,9 – 19,88| = 0,02;

Относительная (Ƶge³) =

Вычисление достаточно точное… «e», натуральный логарифм, может быть средних пропорциональным огромного множества произведений. Образуем произведение, где средним пропорциональным будет число «» ≈ 3,14.

3,14⁴ = 97,21171216 ≈ 97,212; 5*8*11*Y = 0,220936363 ≈ 0,221; → 5*8*11*0,221 = 97,212;

Найдём Ƶge; Значения чисел очень отличны, поэтому определим срединное число множителей.

А|| = Amin = 0,221; Определим приращение, ∆Amin.

∆Amin = ≈ 1,514; Определим «х», ориентир поиска.

х = 0,221+1,514 = 1,735; 1,735⁴ = 9,0614545; Образуем ƒ (x) = (1,735 + n)⁴; n N;

n = 1 → 2,735⁴ = 55,953766050; Добавим «0,5»; (2,735+0,%)⁴ = 3,235⁴ = 109,52093430 97,212;

Уменьшим на «0,1»; 3,145⁴ = 96,59400665; Увеличим на 0,005; 3,14⁴ = 97, 21171216; ≈ 97,212

(значение произведения) Определим погрешность произведения при данном полученном «».

∆ (Ƶge⁴) = |97, 21171216-97,212| = 0,0002878399 ≈ 0,0003;

Относительная погрешность: (Ƶge⁴) =

Вычисление достаточно точное…

Число «» также может быть среднегеометрическим числом очень многих произведений…

Знание пропорциональных параметров позволит оптимизировать любой процесс, минимизировать потери энергии, рассчитать условия наибольших КПД для двигателей, реакторов, генераторов, излучателей…

Литература:

1. Е.П. Кузнецова; Г.Л. Муровьёва, Л.Б. Шнеперман, Б.Ю. Ящин «Алгебра, 11 класс».