Случайные события

06/10/2026

Петрова Г.В.

Повторение, обобщение, систематизация знаний. Случайные опыты и вероятности случайных событий. Серии независимых испытаний

11 класс (урок 2)

06/10/2026

Петрова Г.В.

Сумма событий

• Что называют  суммой событий    A  и  B ? Как обозначается сумма событий? Как эта сумма изображается с помощью диаграммы Эйлера?
• Суммой событий  A  и  B  называют новое событие  C , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий  A  или  B  (логическая связка — союз  или ).

06/10/2026

Петрова Г.В.

Произведение событий

• Что называют  произведением событий    A  и  B ? Как обозначается произведение событий? Как это произведение изображается с помощью диаграммы Эйлера?
• Произведением событий A и  B  называют новое событие  C , состоящее в одновременном наступлении и события A, и события  B  (логическая связка — союз  и ).

06/10/2026

Петрова Г.В.

Несовместные события

• Какие события называются  несовместными?   Как они изображаются с помощью диаграммы Эйлера?
• События  A  и  B  называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. Произведение несовместных событий есть невозможное событие.

• При броске кубика не может сразу выпасть пятерка и четное число

06/10/2026

Петрова Г.В.

Выбери все пары несовместных событий

• Из набора шахмат наугад выбрали 2 белых фигуры – из набора шахмат наугад выбрали короля и пешку
• Выбранное число делится на 3 – выбранное число делится на 17
• При бросании кубика выпало четное число очков – при бросании кубика выпало простое число очков
• При двукратном бросании монеты дважды выпал герб – при двукратном бросании монеты хотя бы один раз выпала решка
• Экзамен учеником сдан на 2 – экзамен учеником сдан на 5

Ответ: 4, 5

06/10/2026

Петрова Г.В.

Противоположные события

• Какие события называются  противоположными?   Как их можно изобразить с помощью диаграммы Эйлера?
• События  A  и 𝐴― называются противоположными, если они несовместны, но одно из них обязательно происходит в результате опыта.

• При броске монеты выпадет либо «орел», либо «решка»

06/10/2026

Петрова Г.В.

Выбери все пары противоположных событий

• Хотя бы один ученик в классе решил сложную задачу – ни один ученик в классе не решил сложную задачу
• Экзамен учеником сдан на 2 - экзамен учеником сдан на 5
• Из предложенных 5 задач ученик не решил ни одной – ученик решил все 5 задач
• При двукратном бросании монеты дважды выпал герб – при двукратном бросании монеты хотя бы один раз выпала решка
• При бросании кубика выпало четное число очков – при бросании кубика выпало нечетное число очков

Ответ: 1, 4, 5

06/10/2026

Петрова Г.В.

Ответь на вопрос:

• В каком случае говорят, что событие A не зависит от события B ? Как определяют зависимость или независимость событий?
• Событие  A  не зависит от события  B , если вероятность события  A  не зависит от того, произошло событие  B  или нет.
• Зависимость или независимость событий чаще всего определяется интуитивно, исходя из условия задачи. 
• Как вычисляется условная вероятность?
• Вероятность события  B  при условии, что  A  произошло, вычисляется по формуле:

𝑃 (𝐵∣𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)/𝑃(𝐴).

• Чему равна вероятность произведения двух независимых событий?
• Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

𝑃 (𝐴⋅𝐵)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐵).

06/10/2026

Петрова Г.В.

Ответь на вопрос:

• Чему равна вероятность произведения событий  A  и  B , если событие B зависит от события A?
• Если событие  B  зависит от события  A , то вероятность произведения событий  A  и  B  равна произведению вероятности события  A  на вероятность события  B  при условии, что событие  A  произошло:

𝑃 (𝐴⋅𝐵)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐵∣𝐴).

• Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?
• Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

𝑃 (𝐴+𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵).

• Чему равна вероятность суммы двух совместных событий?
• Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместной реализации:

𝑃 (𝐴+𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)−𝑃(𝐴𝐵).

•   Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?
• Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:
• 𝑃 (𝐴)+𝑃(𝐴)=1.

06/10/2026

Петрова Г.В.

Задача 1

• На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. 
• Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет.
• Найди вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
• Какие это события?
• А значит их вероятности…

𝑃 (𝐴+𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)=0,2+0,15=0,35 .

06/10/2026

Петрова Г.В.

Задача 2

• В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найди вероятность того, что:
• 1) к концу дня кофе закончится хотя бы в одном автомате?

𝑃 (𝐴)=𝑃(𝐵1+𝐵2)=𝑃(𝐵1)+𝑃(𝐵2)−𝑃(𝐵1𝐵2). 

𝑃 (𝐴)=0,3+0,3−0,12=0,48.

06/10/2026

Петрова Г.В.

Задача 2

• В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найди вероятность того, что:

2) к концу дня кофе останется в обоих автоматах?

• Событие — кофе останется в обоих автоматах — является противоположным событию  A . Тогда 

𝑃 (𝐴)=1−𝑃(𝐴)=1−0,48=0,52.

06/10/2026

Петрова Г.В.

Задача 3

• Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. 
• Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур.
• Найди вероятность того, что А. выиграет оба раза.
• Событие  A  — гроссмейстер А. выиграл оба раза.
• Событие  B  — гроссмейстер А. выиграл белыми фигурами, 𝑃(𝐵)=0,5.
• Событие  C  — гроссмейстер А. выиграл черными фигурами, 𝑃(𝐶)=0,32.
• 𝐴 =𝐵⋅𝐶, события  B  и  C  независимые:

𝑃 (𝐴)=𝑃(𝐵𝐶)=𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐶)=0,5⋅0,32=0,16.

06/10/2026

Петрова Г.В.

Задача 5

• Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45 % этих стекол, вторая — 55 %. Первая фабрика выпускает 3 % бракованных стекол, а вторая — 1 %. Найди вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
• 𝑃 (𝐴)=0,45⋅0,03+0,55⋅0,01=0,019.

06/10/2026

Петрова Г.В.

Задача 6

• Игральный кубик подбросили два раза. Найди вероятность того, что сумма очков равна восьми, если известно, что разность очков равна двум.
• A — разность очков равна двум
• B — сумма очков равна восьми
• AB — разность очков равна двум и сумма — восьми
• 𝑃 (𝐵/𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)/𝑃(𝐴)==.

06/10/2026

Петрова Г.В.

Задача 7

• Предположим, что у тебя есть двое друзей — Маша и Дима. Учитель химии решил провести промежуточный экзамен и дал ученикам вопросы к 30 билетам. В одном билете — один вопрос. 
• Накануне экзамена Маша и Дима поссорились из-за спора, кто первый будет выбирать билет. Маша выучила все билеты, а Дима только 25 билетов. 
• Маша хотела выбрать на экзамене билет первой, чтобы иметь больше шансов получить любимый билет. Дима обиделся и сказал, что Маша в любом случае сдаст экзамен, а из-за того что она не хочет уступить, шансы сдать экзамен у него уменьшатся. Дима решил, что Маша поступает не по-дружески. 
• Кто из друзей прав в этой ситуации?
• Для того чтобы решить задачу, выдели события.
• Реши задачу в два этапа: найди вероятность того, что Дима сдаст экзамен, выбрав билет первым и вторым.

06/10/2026

Петрова Г.В.

Реши задачу

• Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,4. Стрелок делает 2 выстрела. Какова вероятность того, что он оба раза попадет в мишень?

• Ответ: 0,4-0,4=0,16

06/10/2026

Петрова Г.В.

Реши задачу

• В аэропорту 2 одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,18. Найди вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном автомате.

• Ответ: 0,35+0,35-0,18=0,52

06/10/2026

Петрова Г.В.

Реши задачу

• В аэропорту 2 одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,18. Найди вероятность того, что к концу дня кофе закончится только в одном автомате.

• Ответ: 0,17+0,17=0,34

06/10/2026

Петрова Г.В.

Реши задачу

• Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найди вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

• Ответ: 0,02*0,99+0,98*0,01=0,0198+0,0098=0,0296

06/10/2026

Петрова Г.В.

Домашнее задание

• Найти и решить 5 задач на вероятность

(профильная математика) №5