Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Системы линейных уравнений

Системой трех линейных уравнений с тремя неизвестными  называется совокупность из трех уравнений от одного и того же набора переменных, которая имеет вид

В этой системе - называются коэффициентами при переменных; - свободные члены.

Тройка чисел называется решением системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными, если при подстановке их в уравнения системы вместо получают верные числовые равенства.

Примеры системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Основные понятия системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

1. Матрица системы

2. Расширенная матрица системы

3. Матрица-столбец переменных

4. Матрица-столбец свободных членов

5. Определитель системы

Виды систем

1. Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству переменных в ней. Иначе, если количество уравнений не равно количеству переменных в ней, то система будет называться прямоугольной.

2. Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю, то есть . Иначе, если не все свободные члены раны нулю, то система будет называться неоднородной.

3. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Иначе, если система не имеет решений, то она называется несовместной.

4. Совместная система будет являться однородной, если она имеет одно единственное решение. Совместная система будет называться неоднородной, если она имеет бесконечно много решений.

Перед решением любой системы линейных уравнений, необходимо проверить её на совместность и определенность.

Для этого нужно использовать теорему Кронекера-Капелли.

Теорема Кронекера-Капелли:

Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу её расширенной матрицы, то есть rang(A)=rang(A|B). При этом выполняются следующие условия:

1. rang(A) rang(A|B), то система несовместная

2. rang(A)=rang(A|B)=n, где n - количество переменных в системе, то система совместная и определенная, а значит имеет одно единственное значение

3. rang(A)=rang(A|B)n, то система совместная и неопределенная, то есть имеет бесконечно много решений.