Системы счисления

Учебная презентация по информатике,

Учитель иформатики Ендовицкая Е. С.

Система счисления – это совокупность правил записи чисел с помощью определенного набора символов.

Для записи чисел могут использоваться не только цифры, но и буквы.

Системы счисления

позиционные

непозиционные

Значение каждой цифры числа зависит от того, в каком месте (позиции или разряде) цифра записана

Цифры не изменяют своего значения при изменении их расположения в числе

Римская СС

Десятичная СС

Римская система счисления

• Является непозиционной, т.к. каждый символ обозначает всегда одно и тоже число;
• Цифры обозначаются латинскими буквами:

I, V, X, L, C, D, M

(1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000)

Например: XXX – 30; XLI - 41

Основание ПСС – это количество цифр, используемое

для представления чисел;

Алфавит – набор символов, используемый для

обозначения цифр.

• Значение цифры зависит от ее позиции, т.е. одна и та же цифра соответствует разным значениям в зависимости от того, в какой позиции числа она стоит;

Например: 888 : 800; 80; 8

• Любое позиционное число можно представить в виде суммы степеней основания системы.

Десятичная СС

• Основание системы – число 10 ;
• Алфавит ( 10 цифр ): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ;
• Любое десятичное число можно представить в виде суммы степеней числа 10 – основания системы;

Двоичная СС

• Основание системы – 2 ;
• Алфавит (2 цифры): 0; 1 ;
• Любое двоичное число можно представить в виде суммы степеней числа 2 – основания системы ;

Восьмеричная СС

• Основание системы –
• Алфавит ( цифр):
• Любое восьмеричное число можно представить в виде суммы степеней числа

– основания системы ;

8

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

8

8

Шестнадцатеричная СС

• Основание системы –
• Алфавит ( цифр):
• Любое шестнадцатеричное число можно представить в виде суммы степеней числа

– основания системы ;

16

16

0, 1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, A, B, C, D, E, F

16

Для перехода из любой системы счисления в десятичную необходимо число представить в виде суммы степеней основания системы счисления и найти его десятичное значение.

Для перехода из двоичной системы счисления в десятичную необходимо двоичное число представить в виде суммы степеней двойки и найти его десятичное значение.

Пример:

1*2 4 +

1*2 0 =

0*2 1 +

1*2 3 +

1*2 2 +

11101 2 =

= 16 +

8 +

4 +

0 +

1 =

29 10

Примеры:

10 2 =

1*2 1 +

0*2 0 =

2 +

0 =

2 10

100 2 =

2 2 = 4

2 3 = 8

1000 2 =

2 4 = 16

10000 2 =

2 4 +

10111 2 =

2 2 +

2 1 +

2 0 =

= 16 +

4 +

2 +

1 =

23 10

? 2  ? 10

Двоичные числа

1011001,

11110,

11011011 перевести в десятичную систему.

проверка

• Разделить десятичное число на основание системы счисления. Получится частное и остаток.
• Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньше основания новой системы счисления.
• Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке. Полученное число и будет двоичной записью исходного десятичного числа.

• Разделить десятичное число на 2. Получится частное и остаток.
• Частное опять разделить на 2. Получится частное и остаток.
• Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньшим 2.
• Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке. Полученное число и будет двоичной записью исходного десятичного числа.

Примеры:

27

2

13

1

2

2

1

6

0

3

2

1

1

27 10 =

2

? 10  ? 2

Для десятичных чисел

341; 125; 1024

выполни перевод в двоичную систему счисления.

проверка

• Основание системы – 8 ;
• Содержит 8 цифр: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;
• Любое восьмеричное число можно представить в виде суммы степеней числа 8 – основания системы;
• Примеры восьмеричных чисел: 2105; 73461 ;

• Разделить десятичное число на 8. Получится частное и остаток.
• Частное опять разделить на 8. Получится частное и остаток.
• Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньшим 8.
• Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке. Полученное число и будет восьмеричной записью исходного десятичного числа.

132

8

8

16

4

0

2

132 10 =

8

? 10  ? 8

Десятичные числа

421, 5473, 1061

перевести в восьмеричную систему.

проверка

Для перехода из восьмеричной системы счисления в десятичную необходимо восьмеричное число представить в виде суммы степеней восьмерки и найти ее десятичное значение.

215 8 =

2*8 2 +

1*8 1 +

5*8 0 =

= 128 +

8 +

5 =

141 10

? 8  ? 10

Восьмеричные числа

41, 520, 306

перевести в десятичную систему.

проверка

• Основание системы – 16 ;
• Содержит 16 цифр: от 0 до 9; A; B; C; D; E; F;
• Любое шестнадцатеричное число можно представить в виде суммы степеней числа 16 – основания системы;
• Примеры шестнадцатеричных чисел: 21 AF3 ; B09D ;

• Разделить десятичное число на 16. Получится частное и остаток.
• Частное опять разделить на 16. Получится частное и остаток.
• Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньшим 16.
• Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке. Полученное число и будет шестнадцатеричной записью исходного десятичного числа.

? 10  ? 16

335

16

1

5

20

16

1

4

335 10 =

F

16

? 10  ? 16

Десятичные числа

512, 302, 2045

перевести в шестнадцатеричную систему.

проверка

Для перехода из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную необходимо шестнадцатеричное число представить в виде суммы степеней шестнадцати и найти ее десятичное значение.

A14 16 =

10 * 16 2 +

1* 16 1 +

4 * 16 0 =

= 10*256 +

16 +

4 =

2580 10

? 16  ? 10

Шестнадцатеричные числа

B5, A28, CD

перевести в десятичную систему.

проверка

10-ая

2-ая

0

8-ая

0

1

2

16-ая

0

1

3

0010

0

1

1

2

0011

4

2

3

0100

5

3

4

6

0101

4

0110

7

5

5

0111

6

8

9

6

7

1000

10

1001

7

8

1010

11

9

1011

12

13

A

1100

14

B

1101

C

1110

15

D

1111

E

F

возврат

Разбить двоичное число на классы справа налево по три цифры в каждом. Заменить каждый класс соответствующей восьмеричной цифрой.

0

0

1

0

0

1

1

0

1

1

=

1

1

0

1

1

0

1

1

1

0

2

2

1

6

5

4

8

? 2  ? 8

Двоичные числа 10101111, 11001100110 перевести в восьмеричную систему

проверка

? 8  ? 2

Каждую восьмеричную цифру заменить двоичным классом по три цифры в каждом

10

101

111

001 2

2571 8 =

таблица

? 8  ? 2

Восьмеричные числа 26, 702, 4017 перевести в двоичную систему.

проверка

? 2  ? 16

Разбить двоичное число на классы справа налево по четыре цифры в каждом. Заменить каждый класс соответствующей шестнадцатеричной цифрой.

D

8

B

1

=

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

1

1

2

16

таблица

? 2  ? 10

Двоичные числа 10101111, 11001100110 перевести в шестнадцатеричную систему

проверка

? 16  ? 2

Каждую шестнадцатеричную цифру заменить двоичным классом по четыре цифры в каждом

F54D0 16 =

0101

0100

1101

0000 2

1111

таблица

? 16  ? 2

Шестнадцатеричные числа C3, B096, E38 перевести в двоичную систему.

проверка

• Для каждого из чисел: 123 10 , 456 10 выполнить перевод: 10  2, 10  8, 10  16.
• Для каждого из чисел: 100011 2 , 101001011 2 , 1110010001 2 выполнить перевод: 2  10, 2  8, 2  16.
• Для чисел: 54321 8 , 54525 8 , 777 8 , 1 AB 16 , A1B 16 , E2E4 16 , E7E5 16 выполнить соответствующий перевод: 8  2, 16  2.

10-ая

2-ая

0

8-ая

0

1

2

16-ая

0

1

3

0010

0

1

1

2

0011

4

2

3

0100

5

3

4

6

0101

4

0110

7

5

5

0111

6

8

9

6

7

1000

10

1001

7

8

1010

11

9

1011

12

13

A

1100

14

B

1101

C

1110

15

D

1111

E

F

возврат

10-ая

2-ая

0

8-ая

0

1

2

16-ая

0

1

3

0010

0

1

1

2

0011

4

2

3

0100

5

3

4

6

0101

4

0110

7

5

5

0111

6

8

9

6

7

1000

10

1001

7

8

1010

11

9

1011

12

13

A

1100

14

B

1101

C

1110

15

D

1111

E

F

возврат

• Для каждого из чисел: 123 10 , 456 10 выполнить перевод: 10  2, 10  8, 10  16.
• Для каждого из чисел: 100011 2 , 101001011 2 , 1110010001 2 выполнить перевод: 2  10, 2  8, 2  16.
• Для чисел: 54321 8 , 54525 8 , 777 8 , 1 AB 16 , A1B 16 , E2E4 16 , E7E5 16 выполнить соответствующий перевод: 8  2, 16  2.