Системы счисления

Системы счисления (автор Зыбёнкина Татьяна Витальевна)

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

Система счисления

Позиционная

Непозиционная

Непозиционные системы счисления

Количественные значения символов, используемых для записи чисел не зависят от их позиции в числе.

Система счисления Древнего Египта

Иероглифы – специальные значки для записи чисел.

3 252 =

Римская система счисления

I – 1

V – 5 235=CCXXXV

X – 10

L – 50

C – 100 ( Centum )

D – 500 ( Demimille )

M – 1000 ( Mille )

Правила записи римских чисел

Единицы

Десятки

1 I

10 X

Сотни

2 II

Тысячи

3 III

100 C

20 XX

30 XXX

200 CC

1000 M

4 IV

2000 MM

5 V

40 XL

300 CCC

400 CD

3000 MMM

50 L

6 VI

60 LX

500 D

7 VII

70 LXX

600 DC

8 VIII

Далее применяют специальные правила.

80 LXXX

9 IX

700 DCC

90 XC

800 DCCC

900 CM

Буква

Буква

Буква

Название

Название

Название

Числовой

Числовой

эквивалент

Числовой

эквивалент

эквивалент

Система счисления Древней Греции

Aα

Альфа

Bβ

Бета

Γγ

1

Гамма

Δδ

2

Ιι

Κκ

Дельта

Εε

Йота

3

-

4

Λλ

Эпсилон

10

Каппа

20

Μμ

-

Ρρ

Ζζ

Лямбда

5

Ηη

Ро

Мю

6

Дзета

Σσ

Νν

30

Сигма

40

Ξξ

Эта

Ττ

Θθ

7

100

Ню

Тэта

Υυ

Тау

Кси

8

200

Οο

50

Ππ

Ипсилон

60

Омикрон

9

300

Φφ

Фи

Пи

70

-

400

Χχ

80

Хи

500

Ψψ

-

Ωω

600

90

Пси

Омега

700

-

800

-

900

Системы счисления славянских народов

Значок титло

Тысячи

Миллионы

Система счисления индейцев майя

Позиционные системы счисления

Количественные значения символов, используемых для записи чисел зависят от их позиции в числе.

Клинопись Древнего Вавилона

В древнем Вавилоне использовали шестидесятиричную систему счисления

6 * 60 + 3 = 363

32 * 60 + 52 = 1972

1 * 60 * 60 + 2 * 60 + 4 = 3724

Десятичная система счисления

Арабская система счисления в XII веке нашей эры распространилась по всей Европе, и быстро вытеснила другие системы счисления.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

256

2 сотни 5 десятков 6 единиц

( свернутая форма числа )

256=2*10 2 +5*10 1 +6*10 0

(развернутая форма числа)

347,25= 3*10 2 +4*10 1 +7*10 0 +

+2*10 -1 +5*10 -2

Правило перевода из А 10 →? 2

1. исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится; получается частное и остаток;

2. если полученное частное не делится на основание системы счисления так, чтобы образовалась целая часть, отличная от нуля, процесс умножения прекращается, переходят к шагу 3. Иначе над частным выполняют действия, описанные в первом шаге;

3 . все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;

4. формируется результирующее число: его старший разряд - полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа - первый остаток от деления, а старший - последнее частное.

Пример.

567 10 →? 2

567 10 =1000110111 2

Перевести в двоичную

систему счисления:

Ответы:

• 29 10 =

11101 2

2) 235 10 =

11101011 2

1)

2)

235

2

234

117

2

1

116

2

58

1

58

29

2

28

2

0

14

14

2

1

7

6

3

0

2

2

1

1

1

Правило перевода из А 10 →? 16

1. исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится; получается частное и остаток;

2. если полученное частное не делится на основание системы счисления так, чтобы образовалась целая часть, отличная от нуля, процесс умножения прекращается, переходят к шагу 3. Иначе над частным выполняют действия, описанные в первом шаге;

3 . все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;

4. формируется результирующее число: его старший разряд - полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа - первый остаток от деления, а старший - последнее частное.

Пример.

39519 10 →? 16

39519 10 =9A5F 16

Перевести в шестнадцатеричную

систему счисления:

Ответы:

• 29 10 =

1D 16

2) 2751 10 =

ABF 16

1)

16

29

16

1

13

2)

2751

16

2736

16

171

160

15

10

11

Правило перевода из А 10 →? 8

1. исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится; получается частное и остаток;

2. если полученное частное не делится на основание системы счисления так, чтобы образовалась целая часть, отличная от нуля, процесс умножения прекращается, переходят к шагу 3. Иначе над частным выполняют действия, описанные в первом шаге;

3 . все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;

4. формируется результирующее число: его старший разряд - полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа - первый остаток от деления, а старший - последнее частное.

Пример.

2351 10 →? 8

2351

8

2344

293

8

7

288

8

36

5

32

4

4

2351 10 =4457 8

Перевести в восьмеричную

систему счисления:

Ответы:

• 125 10 =

175 8

2) 1379 10 =

2543 8

1)

125

2)

8

8

1379

120

1376

8

15

8

172

8

5

168

3

1

21

8

7

4

16

2

5

Из любой системы счисления в десятичную

A q =a 1* q 0 +a 2* q 1 +…+a n* q n

q-основание системы счисления

Примеры.

13 16 =1*16 1 +3*16 0 =19

10011 2 =1*2 4 +0*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 =19

Перевести в десятичную

систему счисления:

Ответы:

• 24 5 =

14

2)321 4 =

3) 14 16 =

67

238

Из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную

• исходное число разбивается на триады т.е. 3 цифры (тетрады т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 3 (4), оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 3 (4);

• каждая триада (тетрада) заменятся соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой в соответствии с таблицей

Тетрады

Триады

0000

000

001

0001

010

0010

011

0011

100

0100

101

0101

0110

110

0111

111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10(А)

11(В)

12(C)

13(D)

14(E)

15(F)

Примеры.

110001010 2 =612 8

110001010 2 =18А 16

000

Перевести в восьмеричную

систему счисления:

Ответы:

646 8

• 110100110 2 =

• 00101110 2 =

3)110101000101 2 =

056 8

0

6505 8

Перевести в шестнадцатеричную

систему счисления:

Ответы:

000

1) 1010101011100 2 =

155C 16

2) 011100110011 2 =

3) 110110 2 =

733 16

36 16

00

Из шестнадцатеричной и восьмеричной в двоичную

• каждая цифра исходного числа заменяется триадой (тетрадой)

двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице

двоичное число имеет менее 3 (4) цифр, оно дополняется слева

незначащими нулями до триады (тетрады);

• незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.