Сборник задач "НОД натуральных чисел"

Решим задачу. У нас есть  два типа печенья. Одни шоколадные, а другие простые. Шоколадных 48 штук, а простых 36. Необходимо составить из этого печенья максимально возможное число подарков, при этом надо использовать их все.

Для начала выпишем все делители каждого из этих двух чисел, так как оба эти числа должны делиться на количество подарков.

Получаем,  48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Найдем среди делителей общие, которые есть как у первого, так и у второго числа.

Общими делителями будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Наибольшим из всех общих делителей является число 12. Это число называют наибольшим общим делителем чисел 36 и 48.

Исходя из полученного результата, можем заключить, что из всего печенья можно составить 12 подарков. В одном таком подарке будет 4 шоколадных печенья и 3 обычных печенья.

Определение наибольшего общего делителя

Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел a и b - это наибольшее число, на которое оба числа a и b делятся без остатка.

Кратко наибольший общий делитель чисел a и b записывают так: НОД (a; b).

Пример: НОД (12; 36) = 12.

Некоторые пары чисел, например числа 24 и 35, имеют в качестве наибольшего общего делителя единицу. Такие числа называют взаимно простыми числами. 

Взаимно простые числа - это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель - число 1. Их НОД равен 1.

Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.

Как найти наибольший общий делитель

Первый способ:

Найти НОД 48 и 36.

1. Разложить делители чисел на простые множители

1. Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах. 

2. Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ. 
   НОД (36; 48) = 2 • 2 = 4

 Второй способ:

Сначала разложить на простые множители оба числа.

48 = 2·2·2·2·3, 36 = 2·2·3·3.

Теперь из множителей, которые входят в разложение первого числа, вычеркнем все те, которые  не входят в разложение второго числа. В нашем случае это две двойки.

48 = 2·2·2·2·3, 36 = 2·2·3·3.

Останутся множители 2, 2 и 3. Их произведение равно 12. Это число и будет являться наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. 

Эти правила можно распространить на случай с тремя, четырьмя и т.д. числами.

1. Разложить числа на простые множители.

2. Из множителей,  входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел.

3. Посчитать произведение оставшихся множителей.

Задачи

1. Пятиклассники решили сделать подарки первоклассникам. Они приготовили 69 шариков и 46 флажков и все их раздали малышам поровну. Сколько учеников в первом классе?

2. Два класса из 36 и 40 учеников. На праздники они построились в одну колонну с равным количеством школьников в каждом ряду. Как это можно сделать ?

3. Задача Бабы-Яги. Я в ступе в первый день привезла 35 кг топлива, во второй день 21 кг топлива для моей ступы, в 3 - й день14 кг. За каждый рейс я перевозила одинаковую массу топлива. Сколько килограмм я перевозила за один рейс.

4. а) Какое наибольшее число одинаковых подарков можно составить из 12 мандаринов и 16 бананов, если использовать все фрукты?

б) Во всех новогодних подарках всего было 185 мандаринов и 111 апельсинов. Сколько было подарков? Сколько мандаринов и сколько апельсинов было в каждом подарке?

1. а) Для новогодних подарков закупили 78 плиток шоколада, 156 пряников, 52 пачки печенья, 104 апельсина и 130 яблок. Какое наибольшее число одинаковых подарков можно собрать?

б) Для новогодних подарков купили 180 яблок, 90 апельсин и 900 конфет. Все дети получили одинаковые подарки. Какое наибольшее число одинаковых подарков было составлено из этих фруктов и конфет?

1. а) На новогодней елке все дети получили одинаковые подарки. Во всех подарках было 129 мандаринок и 86 шоколадок. Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько мандаринок и сколько шоколадок было в каждом подарке?

б) Ребята получили на елке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько апельсинов и сколько яблок было в каждом подарке?

1. а) Для подарков детям купили 80 штук апельсинов, 240 конфет и 320 орехов. Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно изготовить и по сколько апельсинов, конфет и орехов будет в каждом подарке? .

б) Для приготовления подарков приобрели 200 пряников, 240 конфет и 320 орехов. Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно приготовить для детей и сколько орехов, конфет и пряников будет положено в каждый пакет?

в)* Для устройства  елки  купили  орехов,  конфет и пряников - всего 760 штук. Орехов взяли на 80 штук больше, чем конфет, а пряников  на  120 штук меньше,  чем орехов. Какое наибольшее число одинаковых  подарков для детей можно сделать   из этого запаса?

1. а) Магазин получил елочные игрушки: 32 шарика, 48 колокольчиков и 56 звездочек. Сколько одинаковых комплектов можно составить из всех этих игрушек и по сколько игрушек каждого вида будет в комплекте?

б) Имеется 36 синих, 48 красных и 72 зеленых листа бумаги. Какое наибольшее число одинаковых комплектов цветной бумаги можно собрать из этих листов?

1. Для игры 24 ученикам дают 54 шара. На сколько групп надо поделить учеников, чтобы в каждой группе их было одно и то же наибольшее число, а также одинаковое число шаров?

2. Сколько букетов можно сделать из 18 желтых и 24 красных роз, если в каждом букете должно быть наибольшее, но во всех букетах одинаковое количество желтых и одинаковое количество красных роз?

3. а) Из 210 бордовых, 126 белых, 294 красных роз собрали букеты причем в каждом букете количество роз одного цвета поровну. Какое наибольшее количество букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого цвета в одном букете?

б) Из 156 чайных, 234 белых и 390 красных роз сделали букеты. Причем во всех букетах роз каждого вида было поровну и число таких букетов было больше 50. Сколько букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого вида было в одном букете?».

1. Для участи в эстафете нужно разделить 36 девочек и 24 мальчика на команды с одинаковым числом участников, состоящих только из девочек или только из мальчиков. Какое наибольшее число человек может быть в каждой команде? Сколько команд получится?

2. На соревнованиях по настольному теннису участвовали равные по количественному команды, в которых всего 145 мальчиков и 87 девочек. Во всех командах было одинаковое число мальчиков и одинаковое число девочек. Сколько команд участвовало в соревнованиях? Сколько девочек и сколько мальчиков было в каждой команде?

3. Из школы в день здоровья 424 человека повезли на стадион, а 477 – в плавательный бассейн. Для этого заказали несколько автобусов с одинаковым числом мест в каждом. Все места в автобусе были заняты, и никто не стоял. Сколько автобусов было заказано и сколько пассажиров было в каждом автобусе?

4. Для первоклассников купили 270 фломастеров и 675 карандашей. Какое наибольшее число подарков можно приготовить, чтобы в них было одинаковое число фломастеров и одинаковое число карандашей? Сколько фломастеров и карандашей будет в каждом подарке?

5. Садовый участок размером 54 м × 48 м по периметру необходимо оградить забором, для этого через равные промежутки надо поставить бетонные столбы. Сколько столбов необходимо привезти для участка, и на каком максимальном расстоянии друг от друга будут стоять столбы?

6. Если мы хотим сделать ремонт в комнате - надо знать ее длину и ширину. Например, длина нашей комнаты 575 см, а ширина 375 см. Пол в комнате нужно выложить декоративными плитками в форме квадрата. Каков наибольший возможный размер такого квадрата? Сколько плиток такого размера, понадобится?

7. * а) Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см, а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа и сколько?

б) Лист картона имеет форму прямоугольника. Его длина равна 24 см, ширина - 16 см. Какие наибольшие равные квадраты можно получить из этого листа, если его разрезать без отходов?

в) Лист картона со сторонами 54см и 36 см надо разрезать без отходов на равные квадраты. Найдите площадь наибольшего квадрата, который можно получить из этого листа.

1. Камин в комнате необходимо выложить отделочной плиткой в форме квадрата. Сколько плиток понадобится для камина размером 195 × 156 см и каковы наибольшие размеры плитки?

2. Ася и Вася играли со спичками, составляя из них различные правильные многоугольники. У Аси было 12 спичек, а у Васи – 18. Сколько они смогут составить одинаковых многоугольников с наибольшим числом сторон так, чтобы были использованы все спички?

3. В класс привезли учебники: по математике 24, по истории 36 и по географии 48. Какое наибольшее число комплектов можно составить из этих книг так, чтобы в каждом было одинаковое число книг по математике, истории и географии? По сколько книг будет в каждом комплекте?

4. а) Миша и Саша покупают одинаковые почтовые наборы. Каждый набор состоит из открытки с конвертом, и его цена выражается целым числом рублей. Миша заплатил за наборы 85 рублей, а Саша – на 34 рубля больше. Сколько стоит 1 набор? Сколько наборов купил Миша? Сколько наборов купил Саша?

б) Таня и Маша купили одинаковое число почтовых наборов. Таня заплатила 90 руб., а Маша на 5 руб. больше. Сколько стоит 1 набор? Сколько наборов купила каждая?

в) Я и моя подруга Юля решили купить одинаковые наборы. Каждый набор состоит из открытки с конвертом. Я заплатила за наборы 65 руб., а Юля - на 26 руб. больше. Сколько стоит один набор? Сколько наборов купила Я? А Юля?

1. На соревнованиях по бегу через каждые 300 м от старта стоит наблюдатель, а через каждые 800 м от старта можно попить воды. На каком минимальном расстоянии от старта можно попить воды рядом с наблюдателем?

2. Туристы проехали за 1 день 56 км, а за 2 – 72 км, причем их скорость была одинаковой и выражалась целым числом км/ч, и каждый день они были в пути целое число часов. Найдите скорость, с которой ехали туристы, если она была наибольшей из удовлетворяющих условию задачи. 

3. Найти НОД делимого и делителя в частном: а) 720 : 144; б) 6812 :1703.

4. НОД (m, n) = НОД (m-n, n). Пользуясь свойством делимости разности, найти НОД:

а) 70 И 42; в) 579 и 592; д)482 и 4484;

б) 100 и 85; г) 378 и 270; е) 1001 и 998.

1. Найти НОД (m, n,c), если n - делитель m; n и c – взаимно простые числа. Привести пример.

2. Разность двух чисел является делителем каждого из этих чисел и равна 60. Чему равен их наибольший общий делитель.

Ответы

9