Самостоятельная работа

Задача 1. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа A формула

ДЕЛ(40, A) ∧ ((¬ДЕЛ(x, A) ∧ ДЕЛ(x, 54)) → ¬ДЕЛ(x, 72))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Задача 2. Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

((x & 17 ≠ 0) → ((x & A ≠ 0) → (x & 58 ≠ 0))) → ((x & 8  = 0) ∧ (x & A ≠ 0) ∧ (x & 58  = 0))

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной x)?

Задача 3. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m»; и пусть на числовой прямой дан отрезок C = [30; 45]. Для какого наименьшего натурального числа A формула

(ДЕЛ(x,A)∧ (x∈C))→¬ДЕЛ(x,12)

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1) при любом натуральном значении переменной х?

Задача 4. Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

(( (X & 13 ≠ 0) ∨ (X & A = 0)) → (X & 13 ≠ 0)) ∨ (X & A ≠ 0) ∨ (X & 39 = 0)

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

Задача 5. Укажите наибольшее целое значение А, при котором выражение

(4y + 3x ≠ 65) ∨ (x A) ∨ (3y A)

истинно для любых целых положительных значений x и y.

Задача 6. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, А) ∧ ДЕЛ(x, 16)) → (¬ДЕЛ(x, 16) ∨ ДЕЛ(x, 24))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Задача 7. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Сколько существует натуральных значений A, при которых формула

ДЕЛ(A, 5) ∧ (¬ДЕЛ(2020, A) → (ДЕЛ(x, 1718) → ДЕЛ(2023, A)))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?