С17 Оптимизация Линейное программирование

С17 Финансовая математика Задачи на оптимальный выбор

Линейное нецелочисленное программироване

1)Фабрика, производит пищевые полуфабрикаты, выпуская блинчики с начинкой ягодной и творожной. В табл приведены себестоимости и отпускная цена, а также производственных возможностей фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта.

Для выполнения условий ассортимента, продукции каждого вида должно выпускаться не менее 15 т. Предположим, что вся продукция фабрики находит спрос (реализуется без остатка), найди макс возможную прибыль, которую может получить фабрика от производства блинчиков за 1 мес.

Реш Пусть x — доля мощностей завода, занятых под произв блинч с ягодн начин, а y — доля мощн, занятых под произв блин с творожной начинкой. Тогда x + y = 1, при этом блинчиков с ягодной начинкой производится 90x т, а с творожной — 75y т. Кроме того, из условия ассортиментности следует, что

   откуда   а   откуда  

Прибыль завода с 1т продукции с ягодной начинкой = 100−70 = 30 тыс.руб., прибыль с 1т продукции с творожной начинкой 135 − 100 = 35 тыс. руб.,

общая прибыль с произведенной за мес продукции

Т е надо найти максимальное значение выражения 75 · (36x + 35y)

при выполнении условий:

подставим получим мах при

Максимальная прибыль

Т1)У фермера 2 поля, каждое пл 10 га. На каждом м выращ кар и свёклу, поля м делить меж ними в любой пропор. Урожайность картофеля на 1 поле 300 ц/га, а на 2м – 200 ц/га. Урожайность свёклы на 1 поле 200 ц/га, а на 2м – 300 ц/га.м продав картоф по цене 10 000 р/ц, а свёклу – по цене 13 000 р/ц. Какой наибольший доход м получить фермер?

Общий доход:

26 + 39 = р

4х – 19у + 650 = с у = где х

найдём с при кот у=мах: Целевая функция – множество прямых, параллельных прямой у =

Рассм 2 угловые крайние точки (0;10) и (10;0), подставив их к-ты найдём наибольшее значение

с = 690 умн на 10000 отв

3а) 2 поля, каждое пл 10 га. Урожайность картофеля на 1 поле= 400 ц/га, а на 2м — 300 ц/га. Урож свёклы на 1 поле= 300 ц/га, а на 2м — 400 ц/га. Ферм м продав картоф по цене 10 000 руб. за ц, а свёклу — по цене 11 000 руб. за ц. Какой наибольший доход м получить фермер?

3б)2 поля пл 10 га Урож картоф на 1 поле= 500 ц/га на 2м — 300 ц/га картоф по цене 5000 руб.за ц, а свёклу — по цене8 000 руб. за ц. Какой наибольший доход

Линейное целочисленное прогрование

Зад17 № 508236 В 1-е кл поступило 45 чел: 20 мальч и 25 дев. Их распределили по 2 классам: в одном должно получиться 22 чел, а в другом ― 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классов и полученные числа сложили. Каким д б распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

Реш 1. Вместо сумм в % будем считать суммарную долю девочек ― они отличается в 100 раз и достигает своего максимума одновременно. Каждая девочка в классе из 22 чел составляет 1/22  от общего числа учеников в этом кл, а в кл из 23 чел 1/23  от общего числа учащихся Значит, если поменять местами девочек из большего класса и мальчиков из меньшего, суммарный % девочек вырастет. Таким обр, максимум достигается, когда все подобранные перестановки сделаны, т е, когда меньший класс полн сост из девочек, а в большем кл ― 3 девочки и 20 мальчиков.

Реш2. Пусть в меньший класс распределено х девочек (где  ), тогда в больший кл попало девочек 25-x. Значит, суммарная доля девочек в двух кл=  и предст линейную функцию с положительным угловым коэффициентом. Значит, эта функция достигает св наибольшего значения на правом конце промеж [2; 22], т е при x=22 

Таким обр меньш класс полностью должен состоять из девочек, а в большем классе должны быть 3 девочек и 20 мальчиков.

Вар В 1-е кл поступает 43 чел: 23 мальч и 20 дев. д получ 22 чел, а вдр ― 21.. Каким д б распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

Задачи о выборе оборудования

3а)На приобретение станков для нового производственного участка выдел ено34 млн руб Оборуд д б размещено на площади, не превышающей 50 м2. Предпр может заказать оборудование 2 видов: более мощные машины типа А стоимостью 4 тыс. ден. ед., требующих площади 7 м2 и дающие 5 тыс. ед. продукции за смену, и менее мощные машины типа Б стоимостью 3 тыс. ден. ед., требующие площади 4 м2 и дающие за смену 3 тыс. ед. продукции. Найти оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий максимум общей производительности нового участка

3б) На приобретение станков для нового производстввенного участка выделено 20 тыс де Оборуд д б размещено на площади, не превышающей 72 м2. Предпр м заказать оборудование 2 видов: б мощные маш типа А стоимостью 5 тыс. д.е., треб площади 6 м2 и дающие 8тыс. ед. продукции за смену, и менее мощные машины типа Б стоимостью 2 тыс. ден. ед., треб площади 12 м2 и дающие за смену 6тыс. ед. продукции. Машин типа А можно заказать не более 3 ед. Найти оптимальный вариант приобретения оборудования, обесп максимум общей производительности нового участка

Задачи планировки отеля

2)Предприниматель купил здание и открыл в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера пл 21 кв м и номера «люкс» пл 49 кв м. Общая площадь, которую можно отвести под номера - 1099 кв м. П может поделить эту площадь между номерами разл типов как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 руб в сутки, а номер «люкс» 4500 руб в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле П?

1-й способ – с помощью логики и арифметических действий.

Найдем стоимость 1номера стандартного: 2000:21=95 (рублей).

Найдем стоимость 1номера «люкс»: 4500: 49 =91 (рублей).

Так как стоим 1 станд номера дороже, то выгодн разместить на этой площади больше номеров стандартных, и как м меньше номеров «люкс». Начнем перебор колич номеров «люкс» с наим цифры. Пусть номеров «люкс» будет 0. Тогда число 1099 не делится нацело на 21. Далее. Доп, что номеров «люкс» будет 1. Тогда: 1099- 49=1050;

1050: 21 = 50 (номеров станд). Значит, на пл 1050м разместить 50 стан номеров. Тогда в сутки отель м заработать: 50∙ 2000 + 1∙ 4500=104500 (р.). Ответ: 104500 рублей.

2-й способ – с помощью составления опорной линейной функции.

Пусть х – количество станд номеров, у- кол номеров «люкс». Они занимают пл 21х+49у. Составим рав: 21х+49у = 1099. Выразим из этого равенства у = .

Составим функцию заработ денег: S(x, y) =2000∙x + 4500∙y. Далее подст в эту ф выр для у. Получим S(x) =71 ∙х + 4500∙22. Это возраст линейная функция. Свое наиб зн она приним при наиб зн х и наим зн у. По условию х и у – нат числа. Зн, у=1 (это наим нат число) и х=50. Значит, S (50, 1) = 2000∙50 + 4500∙ 1=104500.

Ответ: 104500 рублей.

512995 Предприниматель купил здание и хочет открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера п 27 кв м и «люкс» пл 45 кв м. Общая площадь, которую можно отвести под номера, сост 981 кв м. П может поделить эту пл меж ном разл типов, как хочет. Обычный номер приносит отелю 2000 руб в сут, а люкс — 4000 руб в сут. Какую наибольшую сумму денег см заработать в сутки на своём отеле п?

Реш. Пусть в отеле х ном пл 27 кв. м и у ном пл 45 кв. м. Тогда   или 

 Прибыль, кот приносят эти номера,   или   Прибыль б наибольшей при наибольшем значении суммы   Пусть  тогда    откуда, подставив в последнее неравенство, получаем: В сл рав  наиб зн суммы s соотв бы наиб зн вел у. В случае нер-ва н найти наибольшее возможное значение  y и проверить меньшие значения, уменьш кол пустого пр=ва.

Наиб возм зн  у = 21. Т к   для получения наибольщей прибыли н откр 21 н люкс и 1 станд номер, кот б приносить п доход  руб. в сут. При этом ост 9 кв.м. незанят пр=ва. Умень на 1 кол люксов. Если в гостин 20 люкс и 3 станд номера, незанят пр-ва не ост:  В этом сл доход тот же  руб. дальн уменьш кол люксов в пользу станд ном привед к уменьш прибыли. Те, в отеле д б как м больше ном пл 45 кв. м.

513295 Предприниматель купил здание и хочет отк в нем отель. В отеле м б станд номера пл 30 кв ме и люкс» пл 40 кв м. Общая площадь, которую можно отвести под номера, сост 940 кв м. П может разделить эту площадь между номерами различных типов, к. Обычный номер приносит отелю 4000 руб в сут, а люкс — 5000 руб в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель? Отв: 125 000 руб.

3). Расстояние между 2 фермами А и В п дороге 60 км. На ферме А надаивают 200 т молока в сутки, на ферме В – 100 т в сутки. Где построить завод по переработке молока, чтобы для его перевозки количество тонно-километров было наименьшим?

Решение АС =х, ВС =60 – х. Количество т-км, пройденных транспортом от А до С за каждый

день, 200 х т/км, а от В до С – 100 (60 – х) т/км. Суммарное количество т-км выразится

функцией у = 200х + 100 (60 – х) = 100х + 6000, которая определена на отрезке [0; 60].

Исследуя функцию у = 100х + 6000 на отрезке [0; 60],

получим : = 6000. Вывод: Завод надо строить возле фермы А.

Вывод2: если на ферме А добывается молока больше, чем на ферме В, то завод надо строить

возле фермы А; если же количество молока на этих фермах одинаковое, то завод можно

строить в любом месте вблизи шоссейной дороги между фермами А и В.