Решение простейших тригонометрических неравенств

Вспомним!

Вспомним!

Тригонометрическое неравенство - это неравенство, содержащее переменную в аргументе тригонометрической функции.

Решить тригонометрическое неравенство  - это значит, найти множество значений неизвестных, входящих в неравенство, при которых неравенство выполняется.

a, sin x≥a, sin x≤a, sin x" width="640"

Тригонометрические неравенства можно решать

• с помощью графиков функций y = sin x, y = cos x, y = tg x, y= ctg x  
• с помощью единичной окружности .

Решение тригонометрических неравенств, сводится, как правило, к решению простейших неравенств вида: sin xa, sin x≥a, sin x≤a, sin x

Алгоритм решения тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности:

1 ) На оси ординат (абсцисс) отметить точку  a   и провести прямую  y = a  ( x   = a ) , перпендикулярную соответствующей оси (точки пересечения можно соединить с центром окружности).

2 ) Отметить на окружности  дугу , состоящую из точек окружности, удовлетворяющих данному неравенству (эти точки расположены по одну сторону от построенной прямой).

3) Выбрать положительный обход дуги ( против часовой стрелки)

4 ) Записать числовой промежуток,  точки  которого  заполняют отмеченную дугу , учитывая, что начало дуги –меньшее значение ,  и к обеим частям неравенства прибавить период функции ( для y = sin x и y = cos x T=2πn, для y = tg x, y= ctg x T= πn).

Решение простейших тригонометрических неравенств.

sin x

a

0

cos x

Решение простейших тригонометрических неравенств.

sin x

a

0

cos x

• На Оу отмечаем значение

и соответствующие точки на

окружности.

• Выделяем верхнюю часть

окружности (обход совершаем

против часовой стрелки).

• Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение.

4. Ответ:

• На Оу отмечаем значение

и соответствующие точки на

окружности.

• Выделяем нижнюю часть

окружности (обход совершаем

против часовой стрелки).

• Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение.

4. Ответ:

Решение простейших тригонометрических неравенств.

sin x

0

a

cos x

Решение простейших тригонометрических неравенств.

sin x

0

a

cos x

• На Ох отмечаем значение

и соответствующие точки на

окружности.

• Выделяем правую часть

окружности (обход совершаем

против часовой стрелки).

• Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение.

4. Ответ:

• На Оx отмечаем значение

и соответствующие точки на

окружности.

• Выделяем левую часть

окружности (обход совершаем

против часовой стрелки).

• Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение.

4. Ответ:

Решение простейших тригонометрических неравенств.

tg x

sin x

a

0

cos x

Важно!   Точки   − π/2   и   π/ 2   у тангенса   всегда (независимо от знака неравенства)   выколоты!

Решение простейших тригонометрических неравенств.

tg x

sin x

a

0

cos x

• На линии тангенсов отмечаем значение

• Выделяем нижнюю часть

линии тангенсов, поскольку

решаем неравенство со

знаком ≤ .

• Выделяем соответствующую часть окружности.

4. Подписываем полученные точки.

5. Ответ:

Решение простейших тригонометрических неравенств.

sin x

a

сtg x

0

cos x

Важно!   Точки   0   и   π   у котангенса   всегда (независимо от знака неравенства)   выколоты!

Решение простейших тригонометрических неравенств.

sin x

a

сtg x

0

cos x

• На линии котангенсов отмечаем значение 1.

• Выделяем правую часть

линии котангенсов, поскольку

решаем неравенство со

знаком ≥ .

• Выделяем соответствующую часть окружности.

4. Подписываем полученные точки.

5. Ответ: