Разработка урока

ТВиС 11 класс | Углубленный уровень Дата: 05.11.2025

Урок №9

Тема: «Статистическая гипотеза. Проверка простейших гипотез с помощью свойств изученных распределений»

Образовательная цель: учащиеся познакомятся с понятием статистических гипотез и их проверкой .Ученики узнают, что такое статистическая гипотеза, какие бывают её виды — нулевая и альтернативная, а также увидят примеры применения гипотез в реальной жизни. На уроке будет обсуждаться важность ошибок первого и второго рода, и какие последствия эти ошибки могут иметь в различных сценариях.
Кроме теории, учащиеся будут решать практические задания, где научатся проверять гипотезы о средних значениях для различных выборок. Это поможет лучше понять, как гипотезы используются в реальных ситуациях и как их можно применять для анализа данных.
Также на уроке учащиеся разберут методику нахождения критических отклонений и области принятия гипотезы с использованием неравенства Чебышёва.

1. Общий принцип проверки гипотез

Проблемная ситуация

Эксперты утверждают, что 29% всех преступлений совершаются несовершеннолетними.

Чтобы проверить это утверждение, мы взяли случайную выборку из преступлений, произошедших в прошлом месяце.

Оказалось, что из 83 преступлений, попавших в выборку, 17 приходится на несовершеннолетних.

Правы ли эксперты? Еще одна проблемная ситуация

В прошлом году компания АВС провела исследование и выяснила, что 5% покупателей заинтересованы в выпуске стирального порошка, который отстирывает чернильные пятна на белых рубашках.

Компания начала выпуск такого порошка и спустя год после начала выпуска провела новое исследование, в ходе которого из 6000 опрошенных 335 положительно отнеслись к выпуску нового продукта.

Можно ли с высокой долей уверенности утверждать, что интерес покупателей к новому продукту возрос? Как это проверить?

Общий принцип проверки статистических гипотез

Выделяем шесть основных этапов по проверке гипотез.

Рассмотрим каждый из них подробнее.

Основная и альтернативная гипотезы

Статистической гипотезой называют любое предположение о виде или свойствах распределения генеральной совокупности. Мы будем рассматривать две гипотезы: нулевую и альтернативную.

Нулевая гипотеза H₀ подлежит проверке, по результатам которой ее можно принять либо отклонить. «Принять» означает «не получить убедительных аргументов для отклонения гипотезы».

Альтернативная гипотеза H₁ принимается только тогда, когда есть убедительное статистическое доказательство для отклонения основной гипотезы.

Примеры основной и альтернативной гипотезы

Статистические гипотезы проверяются статистическими методами, на основании выборки, полученной из генеральной совокупности. Из-за случайности выборки в результате проверки могут возникать ошибки и приниматься неправильные решения.

Назовем ошибкой первого рода ситуацию, в которой мы отвергаем верную гипотезу H₀. При ошибке второго рода принимается гипотеза H₀ в то время, как она неверна.

Уровень значимости гипотезы

Уровнем значимости гипотезы назовем допустимую вероятность совершить ошибку первого рода, то есть принять неверную гипотезу. Обозначим a.

Уровень значимости a выбирается исследователем до того, как будет проверяться гипотеза. Значение обычно выбирается небольшим, например, 0,10; 0,05 или 0,01.

Статистика - критерий проверки гипотезы

Каким образом на основании выборки принимается решение? Для этого необходима специальная функция, называемая статистикой или критерием. Эта функция зависит от выборки и потому является случайной функцией.

Множество значений статистики включает:

область принятия гипотезы, то есть множество тех значений статистики, при которых гипотеза H₀ принимается

критическую область, то есть множество тех значений статистики, при которых гипотеза H₀ отклоняется и принимается альтернативная гипотеза

Критическая область и ее границы

Критическая область строится для каждой статистики, основываясь на ее свойствах, и зависит от:

• объема выборки

• уровня значимости, задаваемого исследователем

• вида альтернативной гипотезы

Критическая область ограничена критическими значениями, или границами критической области, которые вычисляются для каждой статистики при помощи таблиц.

Получение вывода

После построения критической области вычисляется значение статистики по выборке. Затем сравнивается полученное значение статистики с критической областью.

Если значение статистики попало в область принятия гипотезы,

то гипотеза H₀ принимается

Если значение статистики попало в критическую область,

то гипотеза H₀ отклоняется

и принимается альтернативная гипотеза H₁

Гипотеза о среднем

Требуется проверить предположение о значении среднего для нормально распределенной генеральной совокупности. Нулевая и альтернативная гипотезы могут быть трех разных видов:

Статистика (s известно)

Распределение статистики

Формула для статистики представляет собой следующее выражение:

Используемая статистика имеет нормальное распределение. При проверке гипотезы пользуемся известными нам свойствами нормального распределения.

Для каждого из трех вариантов гипотез построим критические области.

Распределение статистики

I – Левосторонняя критическая область

Альтернативная гипотеза:

Уравнение критической области:

Критическое значение находим по таблице z-значений

II – Правосторонняя критическая область

Альтернативная гипотеза:

Уравнение критической области:

Критическое значение находим по таблице z-значений

III – Двусторонняя критическая область

Альтернативная гипотеза: Уравнения критической области:

Получение выводов

Построив критическую область, вычислим значение статистики по выборке. Для получения выводов мы должны проверить, попало ли выборочное значение статистики в критическую область. Мы отвергаем нулевую гипотезу, если:

Последовательность действий

Шаг 1. Сформулировать основную и альтернативную гипотезы.

Шаг 2. Задать уровень значимости a.

Шаг 3. По таблице найти критические значения и построить критическую область.

Шаг 4. По выборке сосчитать значение статистики.

Шаг 5. Сравнить полученное значение с критической областью. Если значение попало в критическую область – отклонить основную гипотезу, не попало – принять.

Шаг 6. Написать ответ.

Закрепление на примерах.

Пример. Такие разные преподаватели

Задача. Булочки для котлет

Решение

Шаг 1. Основная и альтернативная гипотезы:

Н₀ : μ ≥ 45

Н₁: μ