Простейшие тригонометрические неравенства

Простейшие тригонометрические неравенства.

Уравнения cosx=a

• х= ±arccos a +2 π n, n ϵ z

Решите уравнения

• cosx= √3/2

• cosx= 1/2

• Решение:
• х= ±arccos a +2 π n, n ϵ z
• х= ±arccos 1/2+2 π n, n ϵ z
• х= ± π /3 +2 π n, n ϵ z
• Ответ: х= ± π /3 +2 π n, n ϵ z

arccos 1/2= π /3

Решите уравнения

• 2 cosx= 1

• Решение:
• Разделим обе части уравнения на 2
• cosx= 1/2
• х= ±arccos a +2 π n, n ϵ z
• х= ±arccos 1/2+2 π n, n ϵ z
• х= ± π /3 +2 π n, n ϵ z
• Ответ: х= ± π /3 +2 π n, n ϵ z

arccos 1/2= π /3

Уравнение sinx=a

• x=(-1) n arcsina+ π n, n ϵ z

Решите уравнения

• sinx= 1/2
• Решение:
• х= (-1) n arcsin a + π n, n ϵ z
• х= (-1) n arcsin 1/2+ π n, n ϵ z
• х= (-1) n π /6+ π n, n ϵ z
• Ответ: х= (-1) n π /6+ π n, n ϵ z

arcsin 1/2= π / 6

Решите уравнения

• sinx= -√2/2
• Решение:
• х= (-1) n arcsin a + π n, n ϵ z
• х= (-1) n arcsin(- √ 2 /2 ) + π n, n ϵ z
• х= (-1) n (-arcsin √ 2 /2 ) + π n, n ϵ z
• х= (-1) n (-1)arcsin √ 2 /2+ π n, n ϵ z
• х= (-1) n (-1) 1 arcsin √ 2 /2+ π n, n ϵ z
• х= (-1) n+1 arcsin √ 2 /2+ π n, n ϵ z
• х= (-1) n+1 π /4 + π n, n ϵ z

Ответ: х= (-1) n+1 π /4 + π n, n ϵ z

a n * a m =a n+m

Уравнения tgx=a и ctgx=a

• Для любых а общее решение этих уравнений определяется по формулам:
• tgx=a
• x=arctga+ π n, n Є Z
• ctgx=a
• x=arcctga+ π n, n Є Z
• Частных случаев нет!

з

Проверка домашнего задания Выучить формулы решения уравнения

• sinx=√2/2
• 2 cosx=1
• tgx= - 1 / √3
• ctgx=- √3
• tgx= 0

• cos2xcos3x+sin2xsin3x=-1/2
• cos6x-cos2x=0
• sinx+tgxctgx=0
• cos²x-sin²x=1 /2
• sin( π/2 + x)=0

√2/2 cosxtgx1 / √3 ctgx≤ √3 " width="640"

Тригонометрические неравенства

• sinx√2/2
• cosx
• tgx1 / √3
• ctgx≤ √3

Тригонометр

√2/2 R=1 √ 2/2≈ 1,4/2≈0,7 π - π /4=3 π /4 π /4Учтем период 2 π 2 π n+ π /4n ϵ Z Ответ: 2 π n+ π /4 π /4 + 2 π n, n ϵ Z 3 π /4 π /4 0 ,7 π " width="640"

sinx√2/2

• R=1
• √ 2/2≈ 1,4/2≈0,7
• π - π /4=3 π /4
• π /4
• Учтем период 2 π

2 π n+ π /4

n ϵ Z

Ответ:

2 π n+ π /4 π /4 + 2 π n,

n ϵ Z

3 π /4

π /4

0 ,7

π

1 /2 R=1 π - π /6=5 π /6 π /6Учтем период 2 π 2 π n+ π /6n ϵ Z Ответ: 2 π n+ π /6 π /6 + 2 π n, n ϵ Z 5 π /6 π /6 1/2 π " width="640"

sinx 1 /2

• R=1
• π - π /6=5 π /6
• π /6
• Учтем период 2 π

2 π n+ π /6

n ϵ Z

Ответ:

2 π n+ π /6 π /6 + 2 π n,

n ϵ Z

5 π /6

π /6

1/2

π

sinx

• R=1
• - π - π /6=-7 π /6
• -7 π /6
• Учтем период 2 π

2 π n -7 π /6

n ϵ Z

Ответ:

2 π n -7 π /6 π /6 + 2 π n,

n ϵ Z

-7 π /6

π /6

1/2

- π

√2/2 R=1 √ 2/2≈ 1,4/2≈0,7 - π /4Учтем период 2 π 2 π n- π /4n ϵ Z Ответ: 2 π n- π /4 π /4 + 2 π n, n ϵ Z π /4 0 ,7 - π /4 " width="640"

с osx√2/2

• R=1
• √ 2/2≈ 1,4/2≈0,7
• - π /4
• Учтем период 2 π

2 π n- π /4

n ϵ Z

Ответ:

2 π n- π /4 π /4 + 2 π n,

n ϵ Z

π /4

0 ,7

- π /4

с osx

• R=1
• √ 2/2≈ 1,4/2≈0,7
• 2 π - π /4=7 π /4
• π /4
• Учтем период 2 π

2 π n + π /4

n ϵ Z

Ответ:

2 π n + π /4 π /4 + 2 π n,

n ϵ Z

π /4

0 ,7

- π /4

- √2/2 cosxsinx - √ 3 /2 cosxtgx1 / √3 ctgx≤ √3 " width="640"

Решите неравенства

• sinx - √2/2
• cosx
• sinx - √ 3 /2
• cosx
• tgx1 / √3
• ctgx≤ √3

-1 /2 cosx√ 3/2 2 sinx=1 tgx= - √3 ctgx=1 cos²x-sin²x=1 sin(3 π/2 + x)=-1 Решите неравенства и уравнения " width="640"

Домашнее задание

• sinx -1 /2
• cosx√ 3/2
• 2 sinx=1
• tgx= - √3
• ctgx=1
• cos²x-sin²x=1
• sin(3 π/2 + x)=-1

• Решите неравенства и уравнения