Производная и интеграл

Первообразная

Понятие первообразной

Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на интервале (a; b) , если на нем производная функции F(x) равна f(x) :

Операцию, обратную дифференцированию называют интегрированием .

Примеры

• f(x) = 2x; F(x) = x 2

F  (x)= (x 2 )  = 2x = f(x)

• f(x) = – sin x; F(x) = сos x

F  (x)= (cos x)  = – sin x = f(x)

• f(x) = 6x 2 + 4; F(x) = 2x 3 + 4x

F  (x)= (2x 3 + 4x)  = 6x 2 + 4 = f(x)

f(x)

F(x)

F(x)

Таблица первообразных

Правила нахождения первообразных

1º Если F(x) есть первообразная для f(x) , а G(x) –

первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) есть

первообразная для f(x) + g(x) .

2º Если F(x) есть первообразная для f(x) , а k –

постоянная, то функция kF(x) есть первообразная

для kf(х) .

3º Если F(x) есть первообразная для f(x) , а k и b –

постоянные, причем k ≠ 0 , то функция F(kx + b)

есть первообразная для f(kx + b) .

1

k

Неопределенный интеграл

Неопределенным интегралом от непрерывной на интервале (a; b) функции f(x) называют любую ее первообразную функцию.

Где С – произвольная постоянная (const) .

Примеры

Определенный интеграл

– формула Ньютона-Лейбница .

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, образованной линиями:

сверху ограниченной кривой у = f(x) , 

и прямыми у = 0 ; х = а ; х = b .

Вычисление определенного интеграла

y = f(x)

x = a

x = b

y

D

C

A

B

x

b

0

a

y = 0

y = f(x)

x = a

x = b

y

A

B

y = 0

x

b

a

0

C

D

y = f(x)

y = g(x)

y

D

C

M

P

A

B

x

b

a

0

y = f(x)

y = g(x)

y

C

D

A

B

x

b

a

0

P

M

y = x 2

y = x + 2

Пример 1:

вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями y = x 2 , y = x + 2.

y

C

2

B

A

D

O

x

-1

2

y = f(x)

y = g(x)

y

D

Е

B

C

x

с

A

0

b

a

y = (x – 2) 2

y = 2 √ 8 – x

Пример 2:

вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями

y = (x – 2) 2 , y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0

y

4

D

B

A

C

4

0

x

8

2

Пример 2:

вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями

y = (x – 2) 2 , y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0