Проект "Рисуем в координатной плоскости"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 3»

Тема проекта

Рисуем в координатной плоскости

Выполнил:

ученик 6 «б» класса

МБОУ «СОШ № 3»

Мельников Степан

Руководитель проекта:

Мельникова Е.П.

г. Троицк

2023 г.

Содержание

Глава 1. Теоретическая часть 4

1.1. Что такое координатная плоскость 4

1.2. История возникновения координатной плоскости 4

1.3. Виды координатной плоскости 6

1.4. Применение координатной плоскости 6

Глава 2. Практическая часть 8

2.1. Рисуем точками по их координатам 8

2.2. Что такое функция и её график. Рисуем графиками функций 8

Заключение 11

Введение

В речи взрослых вы могли слышать такую фразу: «Оставьте мне ваши координаты». Это выражение означает, что собеседник должен оставить свой адрес или номер телефона, по которым его можно найти. Места в зрительном зале кинотеатра задают двумя числами: первым числом обозначают номер ряда, а вторым — номер кресла в этом ряду. Идея задавать положение точки на плоскости с помощью чисел зародилась ещё в древности. Система координат пронизывает всю практическую жизнь человека и имеет огромное практическое применение.

Актуальность выбранной темы: Тема «Координатная плоскость» актуальна ещё с давних времен. Она широко используется человеком во многих сферах его деятельности, без нее многие задачи были бы просто невыполнимы. А основная тема проекта – рисование на координатной плоскости интересна тем, что на такой плоскости можно не только составлять различные графики, но ещё и создавать оригинальные рисунки, что также развивает и художественные способности, необходимые во многих профессиях.

Цель проекта: изучить теорию выполнения рисунков в координатной плоскости.

Задачи проекта:

• собрать информацию о координатной плоскости;

• рассмотреть методику рисования по координатам точек;

• создать буклет рисунков, выполненных в координатной плоскости.

Глава 1. Теоретическая часть

Координатная плоскость – плоскость с заданной системой координат. Многие уже знакомы с координатной прямой – прямой, на которой отмечено начало отсчета, обычно точкой О, выбрано положительное направление этой прямой, и масштаб, единичный отрезок. Но бывают такие ситуации, в которых недостаточно знать только одну координату. В таких случаях говорят, что координат для определения местонахождения объекта недостаточно.

При игре в морской бой на листочке в клетку, вы называете букву и цифру, обозначая, таким образом, местонахождения кораблика двумя координатами. Таким же образом можно обозначить и местонахождение какой-либо точки на плоскости (например, на тетрадном листке). Для этого необходимо провести две перпендикулярные прямые, в точке их пересечения будет общая точка (нуль), от которой будет начинаться отсчет влево и вправо, вверх и вниз. Это и есть координатная плоскость. [1]

Такие прямые (перпендикулярные друг другу, с общей точкой отсчета нуль, с обозначением одинакового единичного отрезка, с проставленными числами и указанными стрелочками направлениями – вверх и вправо) называют осями координат, точку нуль – началом координат. Обычно горизонтальную прямую называю абсциссой, и обозначают буквой х, а вертикальную – ординатой, и обозначают буквой у. Вместе они создают прямоугольную систему координат.

Значит, если у нас есть точка В с координатами В (х, у) – это значит, что на оси абсцисс нужно найти число х и от этого числа подняться вертикально вверх на число у. Если координаты заданы отрицательными числами, значит, мы ищем точку слева и внизу по отношению к началу координат.

При записи координат всегда абсциссу, то есть число по оси х, той, которая горизонтальная, ставят на первое место, а число по оси у, которая идет вверх, то есть ординату – на второе.

Мы получим совсем другие координаты точки, если эти числа поменять местами. Также если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю, и наоборот, если точка лежит на оси ординат, то ее абсцисса равна нулю.

История возникновения координат и системы координат начинается давно, первоначально идея метода координат возникла ещё в древнем мире в связи с потребностями астрономии, географии, живописи. Древнегреческого ученого Анаксимандра Милетского (ок. 610-546 до н. э.) считают составителем первой географической карты. [2] Он четко описывал широту и долготу места, используя прямоугольные проекции и ввёл в использование первый глобус, считая при этом что Земля имеет форму цилиндра.

Более чем за 100 лет до н.э греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести теперь хорошо известные географические координаты: широту и долготу и обозначить их числами. [3]

Идея изображать числа в виде точек, а точкам давать числовые обозначения зародилась в далекой древности. Первоначальное применение координат связано с астрономией и географией, с потребностью определять положение светил на небе и определенных пунктов на поверхности Земли, при составлении календаря, звездных и географических карт. Следы применения идеи прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта.

Основная заслуга в создании современного метода координат принадлежит французскому математику Рене Декарту. [4] Он предложил ставший обычным в нашей жизни метод нумерации кресел по рядам и местам. Оказывается эта идея осенила знаменитого философа, математика и естествоиспытателя Рене Декарта (1596-1650)– того самого, чьим именем названы прямоугольные координаты. Посещая парижские театры, он не уставал удивляться путанице, перебранкам, а подчас и вызовам на дуэль, возникавшим из-за отсутствия элементарного порядка распределения публики в зрительном зале.

Предложенная им система нумерации, в которой каждое место получало номер ряда и порядковый номер от края, сразу сняла все поводы для раздоров и произвела настоящий фурор в парижском высшем обществе. Научное описание прямоугольной системы координат Рене Декарт впервые сделал в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также — Декартова система координат. Кроме того, в своей работе «Геометрия» (1637), открывшей взаимопроникновение алгебры и геометрии, Декарт ввел впервые понятия переменной величины и функции. «Геометрия» оказала огромное влияние на развитие математики. В декартовой системе координат получили реальное истолкование отрицательные числа.

Подобные координаты приняты в шахматах. Вместо одного из чисел берется буква: вертикальные ряды клеток обозначаются буквами латинского алфавита, а горизонтальные — цифрами. Таким образом, каждой клетке шахматной доски ставится в соответствие пара из буквы и числа, и шахматисты получают возможность записывать свои партии. [5] Тот же принцип применяется на планах городов. План города разбивают на квадраты, занумерованные с помощью букв и цифр, а на оборотной стороне перечисляют изображенные улицы в алфавитном порядке и указывают, в каком квадрате они находятся.

Существуют на плоскости и другие системы координат. Например, «Полярная система координат». [6] Чтобы ввести полярную систему координат, выбирают начальную точку, называемую полюсом (поэтому система и называется «полярной»); из этой точки проводят луч, называющийся полярной осью. Чтобы определить координаты точки на плоскости, ее соединяют отрез ком с полюсом и вычисляют длину этого отрезка и угол между ним и полярной осью.

Существуют также координаты, задаваемые одним числом. Это координаты на прямой. [7] Достаточно задать одно число — расстояние от точки до начала отсчета, чтобы указать на прямой положение этой точки. В жизни мы очень часто сталкиваемся с такими координатами. Например, железная дорога с километровыми столбами вдоль нее или номера домов на улице.

Три координаты зададут положение точки в пространстве. Такая система координат называется сферической. Нужно выбрать некоторую плоскость и ввести на ней декартову систему координат, а нашей точке сопоставим координаты ее проекции на эту плоскость и расстояние от нее до плоскости, взятое со знаком плюс для одной половины пространства и со знаками минус — для другой; так мы получим декартову систему координат в пространстве. [8] Сферической системой координат обычно пользуются на аэродромах. Рядом с аэродромом ставят радиолокатор. Этот прибор умеет определять дальность до самолета, угол, под которым самолет виден над горизонтом, и угол между направлением на самолет и направлением на север. [9]

1.4. Применение координатной плоскости

Координатная плоскость широко используется человеком, без нее многие задачи были бы неисполнимы. Следы применения идеи прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) изображены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта. В погребальной камере пирамиды отца Рамсеса на стене имеется сеть квадратиков. С их помощью перенесено изображение в увеличенном виде.

Прямоугольной сеткой пользовались и художники Возрождения. Слово «перспектива» в переводе с латинского означает «ясно вижу». В изобразительном искусстве линейная перспектива — это изображение предметов на плоскости в соответствии с кажущимися изменениями их величины. Основу современной теории перспективы заложили великие художники эпохи Возрождения — Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер и другие. На одной из гравюр Дюрера изображён способ рисования с натуры через стекло с нанесённой на него квадратной сеткой.

В египетском искусстве имеются многочисленные примеры, показывающие, что художники и скульпторы сначала рисовали сетку на стене, которую предстояло расписать или вырезать, для того чтобы сохранить установленные пропорции. Простые числовые отношения этих сеток служат сердцевиной всех великих художественных произведений египтян.

Применение системы координат встречается и в науке:

В информатике: рисунки, схемы, чертежи, графики – графические формы представления информации. Метод кодирования – один из удобных способов представления числовой информации с помощью графиков.

В биологии: построение схем молекул ДНК, построение диаграмм и графиков, прослеживающих эволюцию развития.

В медицине: проведение медицинских исследований в области хирургии, флюорография, разнообразные снимки органов, кардиология – кардиограммы.

В экономике: построение графика спроса и предложения, при графическом изображении разнообразных зависимых величин.

В физике: определение координации тел в пространстве

В химии: построение таблицы Менделеева (изменение показателей происходит в

горизонтальной и вертикальной плоскости)

В инженерной графике: моделирование эскизов промышленных машин, оборудования объектов на местности.

Помимо широкого применения в науке, координатная плоскость используется как радар - незаменимая часть в авиации и на суднах.

Также систему координат можно встретить даже в играх на бумаге, таких, как морской бой и шахматы.

Один из самых простых способов рисования на координатной плоскости – рисование по координатам точек. Принцип заключается в том, что в определенном порядке выдаются координаты точек относительно осей х и у – двух координатных лучей, которые необходимо соединить, чтобы получить картинку.

Пример: А (-6; -5) – т.е х=-6, у=-5 ;В (0;2); С (5; 0)

Соединив три точки – А, В и С нами получаем треугольник. [10] Таким же образом выполняются и более сложные картинки.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4 – 5 тыс. лет назад) пусть и несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r².

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет [11] и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных — последними буквами латинского алфавита: x, y, z, известных — начальными буквами того же алфавита: a, b, c,... и т. д.

Само слово "функция" (от латинского functio — совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем [13] в 1673 г в письме к Гюйгенсу (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), в печати он его ввел с 1694 года. Начиная с 1698 года, Лейбниц ввел также термины "переменная" и "константа". В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667 – 1748) [14], который в 1718 году определил функцию следующим образом: "функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных".

Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во "Введении в анализ бесконечного"): "Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств". Так понимали функцию на протяжении почти всего 18 века Даламбер (1717 – 1783), Лагранж (1736 – 1813), Фурье (1768 – 1830) и другие видные математики.

Большой вклад в разрешение спора Эйлера, Даламбера, Бернулли и других ученых 18 века по поводу того, что стоит понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830), занимавшийся в основном математической физикой. Из трудов Фурье следовало, что любая кривая, независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она состоит, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением.

Во второй половине 19 века после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу x множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент y из множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множество В.

Теперь мы можем более точно сказать, что такое функция.
Функция – это зависимость y = f(x), где каждому элементу x соответствует единственное значение функции y, где y – значение функции (зависимая переменная), x – значение аргумента (независимая переменная).

Правило, с помощью которого по значению x находят соответствующее значение y можно задавать различными способами, и никаких ограничений на форму, в которой оно выражается, не накладывается.

Функцию можно изображать геометрически с помощью графика.
График функции - это множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента x, а ординаты - соответствующими значениями функции y.

В таблице представлены графики и уравнения, задающие эти функции, которые мы использовали в работе.

Таблица простейших функций и их графиков

Создавая проект, мы узнали о применении координатной плоскости в различных областях науки и повседневной жизни, некоторые сведения из истории возникновения координатной плоскости и математиках, сделавших большой вклад в это изобретение.

Материал, который мы собрали в ходе написания работы, может быть использован на занятиях школьного кружка, в качестве дополнительного материала к урокам. Выполнение таких заданий заставляют увидеть связь красоты и математики, соприкоснуться с миром прекрасного. Применение такого подхода в процессе обучения даст свои плоды - уроки математики станут интересными и красивыми. Всё это может заинтересовать школьников и скрасить учебный процесс.

А закончить нам бы хотелось такими словами: «Представь свою жизнь координатной плоскостью. Ось у — твое положение в обществе. Ось х — продвижение вперед, к цели, к твоей мечте. И как мы знаем, она бесконечна… мы можем падать вниз, все дальше углубляясь в минус, можем оставаться на нуле и ничего не делать, абсолютно ничего. Можем подниматься вверх, можем падать, можем идти вперед или возвращаться назад, а все из-за того, что вся наша жизнь — это координатная плоскость и самое главное здесь, какая у тебя координата…

Список литературы

1. Глейзер Г.И. История математики в школе: — М.: Просвещение, 1981. – 239 с,, ил.

2. Ляткер Я. А. Декарт. М.: Мысль, 1975. – (Мыслители прошлого)

3. Матвиевская Г. П. Рене Декарт, 1596–1650. М.: Наука, 1976.

4. Савин А. Метод координат. Квант. 1977. №9

5. Математика – приложение к газете «Первое сентября», №7, №20, №17, 2003г., №11, 2000г.

6. Зигель Ф.Ю. Звёздая азбука: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1981. – 191 с., ил

7. Стив Паркер, Николас Харрис. Иллюстрированная энциклопедия для детей. Тайны вселенной. Харьков Белгород. 2008

8. http://istina.rin.ru/