Проект «Пифагор на ОГЭ»

Проект «Пифагор на ОГЭ»

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает

драгоценный камень»

Иоганн Кеплер

Введение

На уроках геометрии мы познакомились с одной из важнейших теорем геометрии для прямоугольного треугольника, известной с древних времен – теоремой Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Кратко познакомились с историей этой теоремы, рассмотрели одно из ее доказательств, также узнали, что существуют и другие способы доказательства.

Трудно найти человека, для которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Почти у каждого сохранились воспоминания о «пифагоровых штанах»  квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах.

Причина такой популярности теоремы Пифагора очевидна: простота, красота и широкая значимость. Однако теорема Пифагора проста, но не так очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Кроме этого, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и так далее) свидетельствует о гигантском числе ее

конкретных реализаций. Зная теорему Пифагора, можно находить ее новые применения и способы доказательств.

С одной стороны – теорема Пифагора изучается и доказывается в школьном курсе геометрии, а с другой стороны  школьного материала явно недостаточно для того, чтобы показать ее практическую значимость в различных, в том числе и современных сферах деятельности человека.

Цель работы: изучить ряд доказательств теоремы Пифагора и показать ее значимость при подготовке к ОГЭ по математике.

Задачи проекта:

1. создать информационную модель проекта;

2. сформулировать теорему Пифагора, изучить историю ее возникновения и биографию самого Пифагора;

3. исследовать несколько способов доказательства теоремы;

4. выполнить подборку практических задач, решаемых с помощью теоремы Пифагора на ОГЭ;

5. создать сборник задач с подробным разбором для подготовки к экзамену по математике в 9 классе.

1. Биография Пифагора

Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого учёного, посвящённого во все таинства греков и варваров. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом». Мы не можем знать достоверно историю Пифагора, поскольку самые ранние известные источники об учении Пифагора появились лишь 200 лет спустя после его смерти. Сам Пифагор не оставил сочинений, и все сведения о нём и его учении основываются на трудах его последователей, не всегда беспристрастных.

Пифагор родился в Сидоне примерно в 570 до нашей эры. С ранних лет он обнаружил необыкновенную одарённость. Родителями Пифагора были Мнесарх и Партенида с острова Самос. По одной из версий Мнесарх был камнерезом, по другой – он был богатым купцом из Тира, получившим самосское гражданство за раздачу хлеба в неурожайный год. Мать Пифагора Партенида происходила из знатного рода Анкея, основателя греческой колонии на Самосе.

Рождение ребёнка будто бы предсказала Пифия в Дельфах, потому Пифагор и получил своё имя, которое значит «тот, о ком объявила Пифия». В частности, Пифия сообщила Мнесарху, что Пифагор принесёт столько пользы и добра людям, сколько не приносил и не принесёт в будущем никто другой.

По словам античных авторов, Пифагор встретился чуть ли не со всеми известными мудрецами той эпохи, греками, персами, халдеями, египтянами, впитал в себя всё накопленное человечеством знание.

Античный философ Ямвлих пишет, что Пифагор в 18-летнем возрасте покинул родной остров и, объехав мудрецов на разных краях света, добрался до Египта, где пробыл 22 года, пока его не увёл в Вавилон в числе пленников персидский царь Камбис. Нахождение в плену принесло пользу пытливому уму начинающего математика, ему было чему поучиться. Ведь в те годы математика в Вавилоне была более развитой, чем в Египте. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при счёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Двенадцать лет он провел за изучением математики, геометрии и магии. И, возможно, именно вавилонская геометрия причастна к доказательству соотношения сторон треугольника и истории открытия теоремы. У Пифагора было для этого достаточно

полученных знаний и времени. Но, что это произошло в Вавилоне, документального подтверждения или опровержения тому нет.

Итак, спустя двенадцать лет, Пифагор, наконец, смог вернуться на Самос в 56-летнем возрасте, где соотечественники признали его мудрым человеком.

Ямвлих сообщает: «Его философия распространилась, вся Эллада стала восхищаться им, и лучшие и мудрейшие мужи приезжали к нему на Самос, желая слушать его учение. Сограждане, однако, принуждали его участвовать во всех посольствах и общественных делах. Пифагор чувствовал, как тяжело, подчиняясь законам отечества, одновременно заниматься философией, и видел, что все прежние философы прожили жизнь на чужбине. Обдумав всё это, отойдя от общественных дел и, как говорят некоторые, считая недостаточной невысокую оценку самосцами его учения, он уехал в Италию, считая своим отечеством страну, где больше способных к обучению людей».

Так Пифагор поселился в греческой колонии Кротоне в Южной Италии, где нашёл много последователей. Их привлекала не только мистическая философия, которую он убедительно излагал, но и предписываемый им образ жизни с элементами здорового аскетизма и строгой морали. Пифагор проповедовал нравственное облагораживание невежественного народа, достигнуть которого возможно там, где власть принадлежит касте мудрых и знающих людей, и которым народ повинуется в чём-то безоговорочно, как дети родителям, а в остальном сознательно, подчиняясь нравственному авторитету.

Пифагор умело использовал знания, полученные в странствиях по свету. Со временем ученый прекращает выступления в храмах и на улицах. Уже в своем доме Пифагор учил медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и многому другому. Из его школы вышли выдающиеся политические и государственные

деятели, историки, математики и астрономы. Это был не только учитель, но и исследователь. Исследователями становились и его ученики. Пифагор развил теорию музыки и акустики, создав знаменитую «пифагорейскую гамму» и проведя основополагающие эксперименты по изучению музыкальных тонов: найденные соотношения он выразил на языке математики. В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, идеи

«гармонии мира» и «музыки сфер», впоследствии приведшие к революции в астрономии, впервые появились именно в Школе Пифагора. Пифагору традиция приписывает введение слов философия и философ.

Многое сделал ученый и в геометрии. Ему приписывают открытие и доказательство теоремы Пифагора, создание таблицы Пифагора. В школе Пифагора геометрия впервые оформляется в самостоятельную научную дисциплину. Именно Пифагор и его ученики первыми стали изучать геометрию систематически  как теоретическое учение о свойствах абстрактных геометрических фигур, а не как сборник прикладных рецептов по землемерию.

Прокл так оценивал вклад греческого ученого в геометрию:

«Пифагор преобразовал геометрию, придав ей форму свободной науки, рассматривая ее принципы чисто абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения. Именно он нашел теорию иррациональных количеств и конструкцию космических тел».

Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику, и, прежде всего, в геометрию. Строго говоря, только с этого момента математика и начинает существовать как наука, а не как собрание древнеегипетских и древневавилонских практических рецептов. С рождением же математики

зарождается и наука вообще, ибо «ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства» (Леонардо да Винчи).

Заслугой пифагорейцев было выдвижение мысли о количественных закономерностях развития мира, что содействовало развитию математических, физических, астрономических и географических знаний. В основе вещей лежит число, учил Пифагор, познать мир  значит познать управляющие им числа. Изучая числа, пифагорейцы разработали числовые отношения, и нашли их во всех областях человеческой деятельности. Числа и пропорции изучались с тем, чтобы познать и описать душу человека, а познав, управлять процессом переселения душ с конечной целью отправить душу в некое высшее божественное состояние.

Пифагор утверждал, чтобы понять Бога, человек должен познать такие науки как алгебра и геометрия, знать астрономию и понимать музыку. Исследовательская работа сводилась к познанию мистической стороны чисел и философии. Следует отметить, что проповедованные в то время Пифагором принципы, имеют смысл и находят подтверждение и в настоящее время.

В современном мире Пифагор считается великим математиком и космологом древности, однако ранние свидетельства до III в. до нашей эры не упоминают о таких его заслугах. Таким образом, жизнь Пифагора для нас остается неизведанной доподлинно загадкой, его учение полно мистики, но не лишено смысла и актуальности даже в наши дни.

Источники сообщают, что Пифагор прожил 80 или 90 лет. Из этого следует дата смерти 490 до нашей эры или 480 до нашей эры.

1. История теоремы Пифагора

Для нас имя Пифагора связано, прежде всего, с теоремой Пифагора. В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором.

Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Связанная с именем Пифагора, теорема была известна задолго до рождения великого философа. Так в Египте еще пять тысячелетий назад при строительстве сооружений учитывалось соотношение сторон прямоугольного треугольника. А в вавилонских текстах упоминается о всё том же соотношении сторон прямоугольного треугольника за 1200 лет до рождения Пифагора. Может показаться странным, но исторических фактов доказательства теоремы самим Пифагором нет  ни в архивах, ни в каких-либо других источниках. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих «Начал». С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в “Началах” принадлежит самому Евклиду.

Возникает вопрос, почему же тогда история гласит, что возникновение этой теоремы связано с Пифагором? Ответ может быть только один  он доказал соотношение сторон в треугольнике. Он сделал то, что века назад не делали те, кто просто пользовался соотношением сторон и гипотенузы, установленным опытным путем. Легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы». В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».

Исторический обзор теоремы Пифагора начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чупей. В этом сочинении так говорится о прямоугольном треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4».

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) обнаружил на хранящемся в Берлинском музее папирусе записанное египтянами примерно в 2300 году до нашей эры равенство 3²+4²=5². По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м с узлами на каждом метре и вобьем колышки в землю, как на рисунке Б.1.

Рисунок Б.1  Прямоугольный треугольник со сторонами 3,4,5 Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и

4 метра.

Несколько больше было известно о теореме Пифагора вавилонянам. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, то есть к 2000 году до нашей эры, приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в

Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях.

Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до н.э. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера, называемые Сульвасутры. В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до н.э., мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.

В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора или человека в цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики (рисунок Б.2).

Рисунок Б.2  Теорема Пифагора

В заключение приведём различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): «В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах».

Латинский перевод арабского текста: «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым

углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол».

Перевод с немецкого (около 1400 года): «Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу».

В первом русском переводе евклидовых «Начал», теорема Пифагора изложена так: «В прямоугольном треугольнике квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

Как видим, в разных странах и разных языках существуют различные варианты формулировки знакомой нам теоремы. Созданные в разное время и в разных языках, они отражают суть одной математической закономерности, доказательство которой также имеет множество вариантов.

1. Различные способы доказательства теоремы Пифагора

В средние века ученики считали доказательство теоремы слишком трудным делом. Слабые ученики заучивали теоремы наизусть, без понимания смысла доказательства. В связи с этим они получили прозвище "ослы", потому что теорема Пифагора была для них непреодолимым препятствием, как для осла мост. В средние века ученики придумали шутливый стих на предмет этой теоремы: «Пифагоровы штаны – на все стороны равны, чтобы это доказать, нужно снять и показать».

В наше время известно множество доказательств теоремы Пифагора. А сама теорема даже заслужила место в «Книге рекордов Гиннеса» как получившая наибольшее число доказательств. Американский автор Э. Лумис в книге «Пифагорово предложение», вышедшей в 1940 году, собрал 370 разных доказательств, включая одно, предложенное президентом США Джеймсом Абрамом Гарфилдом.

1. Доказательство Джеймса Абрахама Гарфилда (20-й президент США с марта по сентябрь 1881 года).

На рисунке Б.3 три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь данной фигуры можно находить либо по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников.

Рисунок Б.3  Трапеция ABCD

Доказательство.

1. Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого. Получим трапецию.

2. Рассмотрим получившуюся прямоугольную трапецию ABCD и найдем ее площадь по формуле:

^𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 ⁼

𝑎 + 𝑏

⁽𝑎 + 𝑏⁾.

2

1. Найдем площадь прямоугольной трапеции ABCD , как сумму площадей полученных прямоугольных треугольников:

1 1 1

_𝑆 ²

_{𝐴𝐵𝐶𝐷} = 2 ∙ ₂ ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 + ₂ ∙ 𝑐 ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 + ₂ ∙ 𝑐 .

1. Приравняем данные выражения, получаем:

𝑎 + 𝑏

(

2

𝑎 + 𝑏⁾

1 ₂

= 𝑎 ∙ 𝑏 + ₂ ∙ 𝑐 ;

1

(𝑎² 2

+ 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏²

1

) = 𝑎 ∙ 𝑏 +

2

• 𝑐²;

𝑎² + 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏² = 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑐²;

𝑎² + 𝑏² = 𝑐².

Ч.т.д.

1. Доказательство с использованием свойств подобия треугольников.

1. Проведем высоту CH в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом C (рисунок Б.4):

Рисунок Б.4  Треугольник АВС

1. Рассмотрим ∆𝐴𝐵𝐶 и ∆𝐴𝐶𝐻:

– ∠𝐴 − общий;

– ∠С = ∠Н = 90°.

Значит, ∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝐴𝐶𝐻 по 2 признаку подобия треугольников.

Аналогично ∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝐶𝐵𝐻.

1. Пусть ВС=a, АС=b, АВ=c, тогда из подобия треугольников получаем:

^𝑏 = ^𝐴𝐻 → 𝑏² = 𝑐 ∙ 𝐴𝐻;

𝑐 𝑏

^𝑎 = ^𝐻𝐵 → 𝑎² = 𝑐 ∙ 𝐻𝐵.

𝑐 𝑎

Сложим, правые и левые части:

𝑎² + 𝑏² = 𝑐 ∙ 𝐻𝐵 + 𝑐 ∙ 𝐴𝐻;

𝑎² + 𝑏² = 𝑐⁽𝐻𝐵 + 𝐴𝐻⁾;

𝑎² + 𝑏² = 𝑐 ∙ 𝐴𝐵;

𝑎² + 𝑏² = 𝑐 ∙ 𝑐;

𝑎² + 𝑏² = 𝑐².

1. Доказательство Перегаля.

Ч.т.д.

Доказательство методом разложения квадратов на равные части (рисунок Б.5):

Рисунок Б.5  Рисунок к доказательству Перегаля Доказательство основано на разрезании квадратов, построенных на

катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе:

1. Построим квадраты на катетах прямоугольного треугольника

АВС.

1. Точка О – центр квадрата, построенного на большем катете

∆АВС. Через т. О проведем прямую параллельную гипотенузе треугольника и прямую, перпендикулярную ей (пунктирные линии).

1. Пронумеруем полученные многоугольники и разрежем их на части.

2. Построим квадрат на гипотенузе. Полученные части многоугольников, укладываем на квадрат, построенный на гипотенузе. Получим, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Ч.т.д

1. Доказательство Бхаскары (старейшее доказательство).

В своем трактате «Венец учения» (около 1150 года) крупнейший индийский математик и астроном Бхаскара приводит следующее доказательство теоремы Пифагора.

Рисунок Б.6  Квадрат ABCD

1. Построим квадрат ABCD, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника AEB (рисунок Б.6). АВ=с, ВЕ=а, АЕ=b.

2. Опустим СК ⊥ ВЕ, DL⊥CK, AM⊥DL.

3. Рассмотрим ∆𝐴𝐸𝐵 и ∆𝐵𝐾𝐶. Они равны по гипотенузе и острому углу:

– АВ = BC(по построению);

– ∠𝐴𝐵𝐸 = ∠В𝐶К

(Обозначим ∠АВЕ = ∠1.

∠1 + ∠𝐾𝐵𝐶 = 90°  так как ABCD квадрат → ∠𝐾𝐵𝐶 = 90° − ∠1.

∠𝐾𝐵𝐶 + ∠𝐵𝐶𝐾 = 90°  по свойству острых углов прямоугольного треугольника → ∠𝐵𝐶𝐾 = 90° − ∠𝐾𝐵𝐶 = 90° − 90° + ∠1 = ∠1).

Аналогично, ∆𝐴𝐸𝐵 = ∆𝐶𝐿𝐷, ∆𝐴𝐸𝐵 = ∆𝐷𝑀𝐴. Значит, KE=KL=LM=

=ME=a–b.

1. Найдем площадь квадрата ABCD по формулам:

𝑆 = 𝑐 ∙ 𝑐 = 𝑐²;

𝑆 = 4 ∙ ¹ ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 + ⁽𝑎 − 𝑏⁾².

2

1. Приравнивая правые стороны равенств, получаем:

_𝑐2

= 4 ∙

1

∙ 𝑎 ∙ 𝑏 +

2

⁽𝑎 − 𝑏⁾²;

𝑐² = 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎² − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏²;

𝑐² = 𝑎² + 𝑏².

Ч.т.д.

4. Применение теоремы Пифагора в ОГЭ

Проанализировав задания ОГЭ, было выявлено, что по большей части задачи, для решения которых необходимо применить теорему Пифагора, встречаются в следующих заданиях:

I часть

1. Задание №15. Треугольники, четырёхугольники, многоугольники и их элементы.

2. Задание №16. Окружность, круг и их элементы.

II часть

1. Задание №23. Геометрическая задача на вычисление. Задание №15:

Задача 1. В прямоугольном треугольнике АВС, с прямым углом С, катеты равны 75 и 100. Найдите высоту CD, проведенную к гипотенузе (рисунок Б.7) .

Рисунок Б.7  Чертёж к задаче 1

Решение.

1 способ: Так как треугольник АВС прямоугольный, применим

теорему Пифагора для нахождения гипотенузы АВ данного треугольника:

𝐴𝐵² = 𝐴𝐶² + 𝐵𝐶²;

𝐴𝐵² = ⁽100⁾² + ⁽75⁾²;

𝐴𝐵² = 10000 + 5625 = 15625;

𝐴𝐵 = 125.

Вычислим площадь прямоугольно треугольника, применяя следующие формулы:

𝑆 =

1

∙ 𝐴𝐶 ∙ 𝐵𝐶 =

2

1

∙ 100 ∙ 75 = 3750

2

и

1

𝑆 = ₂ ∙ 𝐴𝐵 ∙ 𝐶𝐷

Подставим в формулу найденную площадь по предыдущей формуле:

3750 =

1

∙ 125 ∙ 𝐶𝐷 → 𝐶𝐷 = 60.

2

Ответ: 60.

2 способ: Так как треугольник АВС прямоугольный, применим теорему Пифагора для нахождения гипотенузы АВ данного треугольника:

𝐴𝐵² = 𝐴𝐶² + 𝐵𝐶²;

𝐴𝐵² = ⁽100⁾² + ⁽75⁾²;

𝐴𝐵² = 10000 + 5625 = 15625;

𝐴𝐵 = 125.

Рассмотрим ∆𝐴𝐶𝐷 и ∆ АСВ:

1. ∠𝐴𝐷𝐶 = ∠𝐴𝐶𝐷 = 90°;

2. ^{∠𝐶𝐴𝐷} − общий. ^{} →}

→ ∆𝐴𝐶𝐷 ~ ∆𝐴𝐶𝐵 по первому признаку подобия треугольников.

Тогда получаем:

𝐴𝐶

𝐴𝐵

𝐶𝐷

=

𝐶𝐵

100

→ =

125

𝐶𝐷 75

→ 𝐶𝐷 = 60.

Ответ: 60.

Задача 2. Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120.

Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Задача 3. Дан треугольник АВС, угол С равен 90, сторона АС равно

18 см, 𝑡𝑔𝐴 = ^2√10. Найдите сторону АВ (рисунок Б.8).

3

Рисунок Б.8  Треугольник АВС

Решение.

^{По определению тангенса: 𝑡𝑔𝐴 = ВС → ВС = 2√10 ∙ 18 = 12}√^10.

АС 3

Треугольник АВС прямоугольный, применяя теорему Пифагора получим:

𝐴𝐵² = 𝐵𝐶² + 𝐴𝐶²;

𝐴𝐵² = 1440 + 324 = 1764;

𝐴𝐵 = 42.

Ответ: 42.

Задача 4. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15.

Найдите гипотенузу этого треугольника.

Решение.

По теореме Пифагора:

𝑐² = 𝑎² + 𝑏²;

𝑐² = 8² + 15² = 64 + 255 = 289 = 17²;

с = 17.

Ответ: 17. ^{Задание 5. В треугольнике ABC AC = 35, BC=5}√^{15, угол C равен}

90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение.

Центр, описанной около прямоугольного треугольника окружности, лежит на середине гипотенузы.

Найдем гипотенузу AB, применив теорему Пифагора:

𝐴𝐵² = 𝐴𝐶² + 𝐵𝐶²;

𝐴𝐵² = 35² + (5√15)² = 1225 + 375 = 1600;

𝐴𝐵 = 40.

Значит, радиус описанной окружности равен 𝑅 = ^𝐴𝐵 = ⁴⁰ = 20.

2 2

Ответ: 20.

Задача 6. В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна ²⁰√^{3, а сторона AB равна 40. Найдите 𝑐𝑜𝑠 𝐵 (рисунок Б.9).}

Рисунок Б.9  Чертёж к задаче 6

Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН, по теореме Пифагора, имеем:

√ )

𝐵𝐻² = 𝐴𝐵² − 𝐴𝐻² = 40² − (20 3 2 = 1600 − 1200 = 400 → 𝐵𝐻 = 20.

Найдем косинус угла B: 𝑐𝑜𝑠 𝐵 = ^𝐵𝐻 = ²⁰ = ¹ = 0,5.

𝐴𝐵 40 2

Ответ: 0,5.

Задача 7. В равнобедренном треугольнике ABC AC=BC. Найдите AC, если высота CH=12, AB=10.

^{Задача 8. Катеты прямоугольного треугольника равны} √^{15 и 1.}

Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

Задача 9. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=35, а высота ^{CH, опущенная на гипотенузу, равна 14}√^{6. Найдите sin∠ABC.}

Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСН (рисунок 10). По теореме Пифагора:

√ )

𝐴𝐻² = 𝐴𝐶² − 𝐶𝐻² = 35² − (14 6 2 = 1225 − 1176 = 49 → 𝐴𝐻 = 7.

Рисунок Б.10  Рисунок к задаче 9

По свойству высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу, получаем:

𝐶𝐻² = 𝐴𝐻 ∙ 𝐻𝐵 → 𝐻𝐵 = ¹¹⁷⁶ = 168.

7

АВ=АН+НВ=7+168=175. Тогда, 𝑠𝑖𝑛 ∠𝐴𝐵𝐶 = ^𝐴𝐶 = ³⁵ = ¹ = 0,2.

Задание №16:

𝐴𝐵

175

5

Ответ: 0,2.

Задача 1. Вокруг треугольника АВС описана окружность, центр окружности лежит на стороне АВ. Диаметр окружности равен 13. Найдите AC, если ВС = 5.

Решение.

Если центр окружности лежит на стороне треугольника, то угол, лежащий напротив этой стороны – прямой. Значит, угол C равен 90, а треугольник АВС прямоугольный.

Применяя теорему Пифагора, найдем AC:

𝐴𝐵² = 𝐵𝐶² + 𝐴𝐶²; 169 = 25 + 𝐴𝐶²;

𝐴𝐶² = 144;

𝐴𝐶 = 12.

Ответ: 12.

Задача 2. Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см (рисунок Б.11).

Рисунок Б.11  Чертёж к задаче 2

Решение.

Найдем отрезок DO: DO=ОВ–DB=5–1=4.

Рассмотрим треугольник AOD: ∠𝐷 = 90°, т.к. ОВ⊥АС → ∆𝐴𝑂𝐷 –

прямоугольный. По теореме Пифагора, получаем:

𝐴𝐷² = 𝐴𝑂² − 𝑂𝐷² = 5² − 4² = 25 − 16 = 9 → 𝐴𝐷 = 3.

Рассмотрим треугольник АОС: АО=СО, т.к. радиусы окружности →

∆АОС – равнобедренный, тогда CD=AD (высота, опущенная на основании равнобедренного треугольника, является медианой). Таким образом, АС=2∙AD=2∙3=6.

Ответ: 6. Задача 3. К окружности с центром в точке O проведены касательная

AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см (рисунок Б.12).

Рисунок Б.12  Чертёж к задаче 3

Задача 4. Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности (рисунок Б.13).

Рисунок Б.13  Чертёж к задаче 4

Решение.

Достроим до треугольника АОВ, основанием которого является хорда окружности (рисунок Б.14).

Рисунок Б.14 – Дополнительные построения к задаче 4 Рассмотрим треугольник АОВ: АО=ОВ (радиусы окружности),

значит ∆АОВ – равнобедренный, ОН – высота, медиана и биссектриса →

→ AH=HB= ^𝐴𝐵 = ⁷² = 36.

2 2

Рассмотрим треугольник AOH: ∠𝐻 = 90°, ОН=27, АН=36. По теореме Пифагора:

АО² = 𝐴𝐻² + 𝑂𝐻² = 36² + 27² = 1296 + 729 = 2025 = 45² → 𝐴𝑂 = 45.

Тогда диаметр окружности равен: D=2∙AO=2∙45=90.

Ответ: 90.

Задача 5. Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.

Задача 6. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности (рисунок Б.15).

Рисунок Б.15 – Чертёж к задаче 6

^{Задача 7. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=30 , BC=5}√^13. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника (рисунок Б.16).

Рисунок Б.16 – Чертёж к задаче 7

Задача 8. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 18√2.

Найдите диагональ этого квадрата (рисунок Б.17).

Рисунок Б.17 – Рисунок к задаче 8

Задача 9. Отрезок AB = 40 касается окружности радиуса 75 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD (рисунок Б.18).

Рисунок Б.18 – Чертёж к задаче 9

Решение.

Радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит треугольник АВО – прямоугольный. По теореме Пифагора, получаем:

АО² = 𝐵𝑂² + 𝐴𝐵² = 75² + 40² = 5625 + 1600 = 7225 = 85²;

𝐴𝑂 = 85.

Вычислим OD: OD=AO–OD=85–75=10.

Ответ: 10.

Задание №23:

Задача 1. Периметр прямоугольника ABCD равен 72, а диагональ АС равна 27. Найдите площадь ABCD.

Решение.

Предположим, что сторона прямоугольника равна x, тогда вторая сторона равна (36–x).

Рассмотрим треугольник АВС, угол B равен 90, применяя теорему Пифагора к данному треугольнику, получим:

𝐴𝐶² = 𝐵𝐶² + 𝐴𝐵²; 27² = 𝑥² + ⁽36 − 𝑥⁾²;

27² = 𝑥² + 36² − 72 ∙ 𝑥 + 𝑥²;

2𝑥² − 72 ∙ 𝑥 + 567 = 0;

𝐷 = 𝑏² − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 = 5184 − 4 ∙ 2 ∙ 567 = 648;

𝑥 =

^{−𝑏 ±} √^𝐷

2 ∙ 𝑎

^{72 ±} √⁶⁴⁸

= .

4

Если 𝑥 = ^72+√648 , то другая сторона равна 36 − ^72+√648 = ^72−√648.

4

Тогда площадь прямоугольника:

_{𝑆 = 𝑎 ∙ 𝑏 =} ⁷²⁺√⁶⁴⁸ _∙ ⁷²⁻√⁶⁴⁸ ₌ ¹

4 4 16

4 4

• ⁽72² − 648⁾ = 283,5.

Ответ: 283,5.

Задача 2. Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 27.

Найдите площадь этого прямоугольника.

Задача 3. Дана трапеция ABCD, биссектрисы углов А и В пересекаются в точке K. Найдите АВ, если АК=30, ВК=16 (рисунок Б.19)

Решение.

Рисунок Б.19 — Чертёж к задаче 3

Сумма односторонних углов трапеции ABCD равна 180, значит,

∠𝐴𝐵𝐾 + ∠𝐵𝐴𝐾 =

¹ ∙ ⁽

2

∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐵𝐴𝐷⁾

= 90°.

Тогда, треугольник АВК прямоугольный, ∠𝐾 = 90°.По теореме Пифагора имеем:

𝐴𝐵² = 𝐴𝐾² + 𝐵𝐾²;

𝐴𝐵² = 30² + 16² = 1156 → 𝐴𝐵 = 34.

Ответ: 34.

Задача 4. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 32.

Решение.

Построим чертёж (рисунок Б.20).

Рисунок Б.20 – Чертёж к задаче 4

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°.

Тогда, 2 ∙ ∠BAF + 2 ∙ ∠ABF = 180° → ∠BAF + ∠ABF = 90°.

Рассмотрим треугольник ABF: ∠ВАF + ∠ABF = 90°, значит ∠ВFA = 90° (сумма углов треугольника равна 180°). Таким образом, ∆АВF – прямоугольный, тогда по теореме Пифагора:

𝐴𝐵² = 𝐴𝐹² + 𝐵𝐹² = 24² + 32² = 576 + 1024 = 1600 = 40² → 𝐴𝐵 = 40.

Ответ: 40. Задача 5. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 16,

BF = 12.

Задача 6. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 16 и 12, а средняя линия равна 10.

Решение.

Построим чертёж (рисунок Б.21). Пусть AC=12, BD=16. Проведём высоту CH. Выполним дополнительные построения: на прямой AD

отложим отрезок DE=BC и проведем сторону CE, параллельную стороне BD.

Рисунок Б.21 – Чертёж к задаче 6

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть

^{𝐵𝐶+𝐴𝐷} = 10 → 𝐵𝐶 + 𝐴𝐷 = 20.

2

Рассмотрим четырёхугольник BCED: BD∥CE (по построению), BC∥DE (BC∥AD по условию, DE – продолжение AD, значит по определению четырёхугольник BCED – параллелограмм. Тогда BD=CE=16 по свойству параллелограмма.

В треугольнике ACE AE=AD+DE=AD+BC=20, AC=12, CE=16.

Предположим, ∆ACE – прямоугольный. Применим теорему Пифагора:

𝐴𝐸² = 𝐴𝐶² + 𝐶𝐸²;

20² = 12² + 16²;

400 = 144 + 256;

400 = 400.

Получили верное равенство, значит ∆ACE – прямоугольный, с прямым углом C. Найдем его площадь:

𝑆 =

1

∙ 𝐴𝐶 ∙ 𝐶𝐸 =

2

1

∙ 12 ∙ 16 = 96.

2

Площадь трапеции находится по формуле: 𝑆 = ^{𝐵𝐶+𝐴𝐷} ∙ 𝐶𝐻 = 10 ∙ 𝐶𝐻,

2

где CH – высота трапеции. CH также является высотой в ∆ACE, найдем площадь треугольника по формуле:

1 1

𝑆 = ₂ ∙ 𝐴𝐸 ∙ 𝐶𝐻 = ₂ ∙ 20 ∙ 𝐶𝐻.

Подставим найденную ранее площадь треугольника в формулу выше

и найдём CH: ¹ ∙ 20 ∙ 𝐶𝐻 = 96 → 𝐶𝐻 = 9,6. Тогда площадь трапеции равна

2

𝑆 = 10 ∙ 𝐶𝐻 = 10 ∙ 9,6 = 96.

Ответ: 96. Задача 7. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=30, CD=40, а

расстояние от центра окружности до хорды AB равно 20.

Решение.

Построим чертёж (рисунок Б.22).

Рисунок Б.22 – Чертёж к задаче 8

Треугольник AOB – равнобедренный (AO=OB – как радиусы окружности), OH – расстояние от точки O до AB, то есть OH⊥AB, тогда по свойству высоты, проведенной к основанию равнобедренного треугольника, OH – высота, биссектриса и медиана. Значит, 𝐴𝐻 = 𝐻𝐵 =

^𝐴𝐵 = ³⁰ = 15. Аналогично для треугольника COD: 𝐶𝐾 = 𝐾𝐷 = ^𝐶𝐷 = ⁴⁰ =

2 2 2 2

20.

Треугольник AOH – прямоугольный, так как OH⊥AB. Применяя теорему Пифагора, найдем AO:

𝐴𝑂² = 𝐴𝐻² + 𝑂𝐻²;

𝐴𝑂² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625;

𝐴𝑂 = 25.

AO=OB=OC=OD=25, так как радиусы окружности.

Рассмотрим ∆COK: ∠𝐶𝐾𝑂 = 90° (𝑂𝐾 ⊥ 𝐶𝐷,так как расстояние от точки О до CD), CK=20, OC=25, значит ∆COK – прямоугольный. Тогда по ^{теореме Пифагора 𝑂𝐾 = √𝑂𝐶2 − 𝐶𝐾2 = √252 − 202 =} √^{625 − 400 =}

⁼ √^{225 = 15.}

Ответ: 15. Задача 8. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC,

если диаметр окружности равен 8,4, а AB=4.

Решение.

Построим чертёж (рисунок Б.23).

Рисунок Б.23 – Чертёж к задаче 8

О – центр окружности, радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит треугольник АОВ – прямоугольный, тогда по теореме Пифагора, имеем:

𝑂𝐴² = 𝐴𝐵² + 𝑂𝐵² = 4² + 4,2² = 16 + 17,64 = 33,64 → 𝑂𝐴 = 5,8.

Следовательно, АС = СО+ОА=4,2+5,8=10.

Ответ: 10. Задача 9. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите

диаметр окружности, если AB = 1, AC=5.

Заключение

Теорема Пифагора – одна из основополагающих теорем геометрии. Она применяется для решения огромного количества геометрических задач. Является примером простоты, красоты и широкой значимости.

Несмотря на то, что теорема носит имя Пифагора, ее знаменитое соотношение сторон в прямоугольном треугольнике было известно задолго до его рождения. С помощью верёвки разделенной узлами на 12 равных частей древние египтяне строили прямоугольный треугольник и прямой угол. Этот удобный и очень точный способ применяли землемеры для проведения на местности перпендикулярных линий. Для этого брали шнур и три колышка. Шнур располагали треугольником так, чтобы одна сторона состояла из трех частей, вторая – из четырех, и последняя – из пяти таких частей. Шнур при этом образует треугольник, в котором есть прямой угол.

Также найдены свидетельства о знании соотношения сторон в прямоугольном треугольнике в Древнем Китае, у древних индусов, в Вавилоне. И все это было задолго до жизни Пифагора. Однако эта теорема названа его именем, потому что Пифагор доказал соотношение сторон в треугольнике. Он сделал то, что века назад не делали те, кто просто пользовался соотношением катетов и гипотенузы, установленным опытным путем.

Со временем доказательств теоремы Пифагора все прибавлялось. На сегодняшний день их насчитывается более пятисот. Теорема даже занесена в Книгу рекордов Гиннеса, как имеющая наибольшее число доказательств.

В своей работе мы привели несколько способов доказательства теоремы Пифагора, не изучаемых в школе.

Сегодня теорема широко применяется в различных сферах деятельности, почти везде, где необходимы геометрические расчеты. Из-за этого многие ученые называют эту теорему самой главной в геометрии. В материал ОГЭ по математике встречается достаточное количество задач, для решения которых требуется применение теоремы Пифагора. А сборник, который мы создали в ходе работы, поможет качественно подготовиться к экзамену. Сборник содержит разного уровня сложности задания, а так же справочный материал.

Список использованных источников

1. Волошников, А. В. Пифагор: союз истины, добра и красоты / А. В. Волошников. – Москва: Просвещение, 1993. –224 с. – ISBN 5-09-003914-3.

2. Еленьский, Щ. Занимательная математика / Еленьский Щепан – Москва: Книга по Требованию, 2012.  488 с.  ISBN 978-5-458-25452-6.

3. Литцман, В. Теорема Пифагора. / В. Литцман . – Москва: Вузовская книга, 2019. 115 с. – ISBN 978-5-9502-0854-6.